Кратко — классические утверждения и доказательства.
1) Обозначения. Пусть треугольник $ABC$ острый, ортоцентр $H$. Обозначим через $r_{BC}$ отражение относительно прямой $BC$ и через $H_a=r_{BC}(H)$ образ $H$ при этом отражении (аналогично $H_b,H_c$).
2) Основное свойство. Каждое отражение ортоцентра относительно стороны лежит на описанной окружности и является диаметрально противоположной вершине:
$$H_a\in (ABC),H_a\text{— антипод}A,$$ и аналогично $H_b$ — антипод $B$, $H_c$ — антипод $C$.
Доказательство (кратко). Так как $H$ — ортоцентр, то
$$\angle BHC=180^{\circ }-\angle A.$$ Отражение относительно $BC$ меняет ориентацию угла, поэтому
$$\angle B{H}_{a}C=180^{\circ }-\angle BHC=\angle A,$$ а значит $H_a$ видит хорду $BC$ под тем же углом, что и $A$, т.е. $H_a$ лежит на описанной окружности. Так как при отражении расстояние до $O$ (центра окружности) симметрично, получаем, что $A{H}_a$ — диаметр описанной окружности, т.е. $H_a$ — антипод $A$.
3) Ортоцентры отражённых треугольников. Отражение — изометрия, поэтому ортоцентр отражённого треугольника есть образ ортоцентра исходного треугольника. Следовательно ортоцентр треугольника, полученного отражением $ABC$ относительно $BC$, равен $H_a$ (и т.д.).
4) Последовательные отражения. Последовательные отражения ортоцентра по сторонам дают три антипода:
$$r_{BC}(H)=H_a=-A(\text{на окружности}),r_{CA}(H)=H_b,r_{AB}(H)=H_c.$$ Эти три точки лежат на одной окружности $(ABC)$ и являются ортоцентрами соответствующих отражённых треугольников.
5) Доп. замечания.
- Отражения — изометрии, поэтому все метрические свойства (перпендикулярности, длины) переносятся; в частности высоты исходного треугольника переходят в высоты отражённого.
- Точки $H_a,H_b,H_c$ — диаметрические противоположности вершин, поэтому например $A{H}_a=2R$ и $O$ — середина $A{A}^{\prime }$.
- Точки $H_a,H_b,H_c$ связаны с девятиточечной окружностью и другими классическими центрами через стандартные симметрии (например, центр девятиточечной окружности — середина $OH$).
Вывод: при отражении треугольника относительно стороны ортоцентр переходит в точку на описанной окружности — антипод противоположной вершины; последовательные отражения дают три антипода $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$, которые являются ортоцентрами соответствующих отражённых треугольников.