Коротко и по существу.
Задаём прямые в параметрической форме
$$L_1:\mathbf{r}=\mathbf{p}+t\mathbf{u},L_2:\mathbf{r}=\mathbf{q}+s\mathbf{v},$$ где $\mathbf{p},\mathbf{q}\in {\mathbb{R}}^3$, направления $\mathbf{u},\mathbf{v}\ne 0$.
1) Координатный (параметрический) метод.
- Для нахождения точки ближайшего приближения решают задачу минимизации расстояния между точками на прямых:
$$\underset{t,s}{\min }\Vert \mathbf{w}+t\mathbf{u}-s\mathbf{v}\Vert ,\mathbf{w}=\mathbf{p}-\mathbf{q}.$$ Условия первого порядка дают 2×2 систему
$$\{\begin{array}{l}\mathbf{u}\cdot \mathbf{w}+t\mathbf{u}\cdot \mathbf{u}-s\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=0,\\ \mathbf{v}\cdot \mathbf{w}+t\mathbf{v}\cdot \mathbf{u}-s\mathbf{v}\cdot \mathbf{v}=0.\end{array}$$ Решая её (например, методом Гаусса или SVD), получают $t^{\ast },s^{\ast }$ и минимальное расстояние
$$d=\Vert \mathbf{w}+t^{\ast }\mathbf{u}-s^{\ast }\mathbf{v}\Vert .$$ - Особые случаи: если система совместна с точным решением $\mathbf{p}+t\mathbf{u}=\mathbf{q}+s\mathbf{v}$, прямые пересекаются и $d=0$. Если направления коллинеарны (матрица вырождается), решают отдельно (расстояние от точки на одной прямой до другой прямой).
Устойчивость:
- Система 2×2 плохо обусловлена при почти-параллельных или почти-коллинеарных направлениях ($\mathbf{u}$ почти пропорциональна $\mathbf{v}$): матрица плохо обусл.; малые погрешности в данных дают большие ошибки в $t,s$ и векторах ближайших точек, но сам минимальный остаток (расстояние) может быть вычислен с меньшей относительной ошибкой, если правильно использовать ортогональную декомпозицию (SVD/QR) для решения (избегать прямого обращения плохо обусловленных матриц).
2) Метод через векторное (внешнее) произведение.
- Для несмещённых (скошенных) прямых классическая формула
$$d=\frac{|(\mathbf{p}-\mathbf{q})\cdot (\mathbf{u}\times \mathbf{v})|}{\Vert \mathbf{u}\times \mathbf{v}\Vert }.$$ - Для пересекающихся прямых $\mathbf{u}\times \mathbf{v}=0$ и формула даёт деление на ноль; тогда истинное $d=0$, но формула неприменима — требуется отдельная проверка.
Устойчивость:
- Метод очень прост и эффективен, пока $\Vert \mathbf{u}\times \mathbf{v}\Vert$ не близко к нулю. Если $\Vert \mathbf{u}\times \mathbf{v}\Vert =\epsilon$ мало, тогда относительная погрешность результата может быть порядка $O(\delta /\epsilon )$, где $\delta$ — уровень погрешности входных данных или арифметики; т.е. малые численные шумы усиливаются. При почти-параллельных или почти-пересекающихся прямых метод ненадёжен.
3) Сравнение и практические рекомендации.
- Для точного пересечения: лучше явно проверять совместность системы $\mathbf{p}+t\mathbf{u}=\mathbf{q}+s\mathbf{v}$ (решить линейную систему и оценить остаток). Если остаток мал (< заданного tolerance), принять $d=0$.
- Для произвольных данных рекомендую гибрид:
1. Вычислить $\mathbf{c}=\mathbf{u}\times \mathbf{v}$ и $\eta =\Vert \mathbf{c}\Vert$.
2. Если $\eta$ довольно крупно (> tol, например $10^{-12}$ для double), использовать формулу через векторное произведение (быстро и точно).
3. Если $\eta$ мало, решить 2×2 систему минимизации с устойчивым методом (SVD/QR), либо сформировать задачу ближайших точек и решить её через SVD 3×2 — это корректно обработает почти-параллельные и почти-пересекающие случаи без деления на малые числа.
- Для проверки результата всегда вычисляйте остаток $\mathbf{r}=\mathbf{w}+t^{\ast }\mathbf{u}-s^{\ast }\mathbf{v}$. Если $\Vert \mathbf{r}\Vert$ мало, принять $d=\Vert \mathbf{r}\Vert$ (для пересечения — ноль в пределах шума).
4) Краткая оценка ошибок.
- При использовании формулы с крестовым произведением относительная ошибка примерно пропорциональна $\delta /\eta$.
- При решении 2×2 системы ошибка в $t,s$ масштабируется с числом обусловленности матрицы $\kappa$; применение SVD даёт минимально возможную ошибку по норме (устойчивее при больших $\kappa$).
Итог: для «обычных» (непочти-параллельных) случаев формула через $(\mathbf{u}\times \mathbf{v})$ — простая и точная. Для пересекающихся или почти-параллельных случаев нужно явное ветвление и решение через устойчивые линейные методы (SVD/QR), а при наличии шума — дополнительная проверка остатка и пороговое принятие $d=0$.