Краткий ответ (без лишнего):
Имеем две окружности с центрами $O_1,O_2$ и радиусами $r_1,r_2$, касающиеся внешне в точке $T$. Обозначим расстояние между центрами $d=O_1{O}_2$. Для внешнего касания $d=r_1+r_2$.
1) Число общих касательных и их типы:
- Всего 3 общие касательные: одна — в точке внешнего касания $T$ (она пересекает отрезок $O_1{O}_2$, называется внутренней в смысле классификации), две остальные — внешние касательные, не пересекающие отрезок $O_1{O}_2$. Эти две пересекаются в внешнем центре гомотетии.
2) Построение:
a) Точка общих касательных в точке касания:
- Точка $T$ лежит на прямой $O_1{O}_2$ между центрами и удовлетворяет $O_{1}T=r_1,O_{2}T=r_2$.
- Общая касательная в этой точке — прямая, перпендикулярная $O_1{O}_2$ в $T$.
b) Две внешние касательные:
- Постройте внешний центр гомотетии $H$ на прямой $O_1{O}_2$, удовлетворяющий отношению
$$\frac{O_{1}H}{O_{2}H}=\frac{r_1}{r_2},$$ причём при $r_1>r_2$ точка $H$ лежит на продолжении луча $O_1{O}_2$ за $O_2$ (и аналогично при $r_2>r_1$).
(Технически это деление отрезка внешнее; строится стандартно через подобие: берётся произвольный луч, на нём откладываются отрезки пропорциональные $r_1$ и $r_2$, проводят соответствующие соединяющие и параллели.)
- Из точки $H$ опустите касательные к одной из окружностей (например к окружности с центром $O_1$). Из точки $H$ к окружности проводятся ровно две касательные; эти прямые являются искомыми общими внешними касательными для обеих окружностей. Точки касания на второй окружности получаются образом гомотетии с центром $H$.
3) Свойства конфигурации касательных точек:
- Внешние касательные пересекаются в $H$ (внешний центр гомотетии). Соответствующие точки касания на двух окружностях связаны гомотетией с центром $H$.
- Точки касания внешних касательных на каждой из окружностей симметричны относительно прямой $O_1{O}_2$.
- Угол между двумя внешними касательными равен
$$2\phi ,\text{где}\sin \phi =\frac{|r_1-r_2|}{d}.$$ При $d=r_1+r_2$ (внешнее касание) это даёт
$$2\phi =2\arcsin \frac{|r_1-r_2|}{r_1+r_2}.$$ (Эта формула получается из того, что для точки $H$ выполняется $\sin \phi =\frac{r_1}{H{O}_1}$ и $H{O}_1=\frac{r_{1}d}{|r_1-r_2|}$.)
- Общая касательная в точке $T$ перпендикулярна $O_1{O}_2$. Угол между этой касательной и каждой внешней касательной определяется через геометрию треугольников с радиусами и центром $H$.
- Пары точек касания, соответствующие одной внешней касательной, соединены прямой, проходящей через точку касания с этой касательной и через соответствующую точку на другой окружности; эти точки парно коллинеарны с $H$.
Заключение: конструктивно — построить $T$ и перпендикулярную в нём касательную; найти внешний центр гомотетии $H$ (деление отрезка $O_1{O}_2$ в отношении $r_1:r_2$ внешним способом) и из $H$ провести две касательные к одной окружности — это и будут две остальные общие касательные; соответствующие точки касания находятся парами и связаны гомотетией с центром $H$, симметричны относительно $O_1{O}_2$, и угол между ними равен $2\arcsin \frac{|r_1-r_2|}{r_1+r_2}$.