Коротко о действии инверсии и её свойствах (центр $O$, радиус $k$):
- Точка $P\ne O$ переходит в точку $P^{\prime }$ на луче $OP$ так, что $OP\cdot O{P}^{\prime }=k^2.$ - Угол сохраняется (конформность), ориентация меняется на противоположную; поэтому касание сохраняется.
- Прямая, не проходящая через $O$, переходит в окружность, проходящую через $O$.
- Прямая, проходящая через $O$, остается прямой.
- Окружность, не проходящая через $O$, переходит в окружность, не проходящую через $O$.
- Окружность, проходящая через $O$, переходит в прямую (и обратно).
Примеры, где инверсия существенно упрощает задачу
1) Построение окружности, проходящей через заданную точку $A$ и касающейся двух данных окружностей $C_1,C_2$.
- Инвертируем с центром в $A$. Любая окружность, проходящая через $A$, перейдёт в прямую. Пусть образы $C_1^{\prime },C_2^{\prime }$ — окружности (если исходные не проходили через $A$). Тогда искомая окружность $S$ (через $A$) перейдёт в прямую $s$, касательную к $C_1^{\prime }$ и $C_2^{\prime }$.
- Задача сводится к построению общей касательной двум окружностям — простая элементарная задача (по гомотетиям или через центр подобия). После построения $s$ возвращаемся обратной инверсией и получаем $S$.
- Идея: сложная система касаний превращается в поиск общей прямой.
2) Нахождение общих касательных двух непересекающихся окружностей.
- Инверсия с центром в какой‑нибудь точке одной из окружностей (или в точке на одной окружности) переводит эту окружность в прямую; другая окружность перейдёт в окружность. Тогда общие касательные исходных окружностей соответствуют касательным от прямой к окружности — т.е. легко находятся (решение через параллельные переносы/гомотетии).
- Частный выбор центра: если инвертировать в одной из точек касания двух окружностей (если она есть), обе окружности станут прямыми — некоторые вещи вообще сводятся к параллельам.
3) Свойства касания в точке — доказательства и интуиция.
- Пусть две окружности касаются в точке $T$. Инверсия с центром в $T$ переводит обе окружности в прямые. Поскольку они имеют только одну общую точку, прямые не пересекаются в другом месте — они параллельны. Это даёт короткое доказательство фактов, вроде того, что при касании в точке центр внешней гомотетии «уходит в бесконечность» (копия: внешние касательные становятся парой параллельных прямых).
- Аналогично, если три окружности касаются попарно, инверсия в одной точке касания часто переводит задачу в систему параллельных прямых — облегчая анализ.
Дополнительное применение
- Преобразование задач о системах окружностей (коаксиальные системы). Подходящим выбором центра инверсии многие окружности переходят в прямые, и поиск общих точек/касающих сводится к планиметрическим построениям.
- Задачи о касательных, пересечениях и ортогональности — инверсия сохраняет угол $90^{\circ }$, поэтому окружности, ортогональные данным, остаются таковыми в образе, часто упрощая конструкцию.
Ограничения и предостережения
- Правильный выбор центра критичен. Если центр инверсии не связан с геометрией (не лежит на нужных окружностях/касательных), образ может оказаться не проще.
- Инверсия не сохраняет расстояния и не является линейным отображением; алгебраические выражения радиусов/координат могут усложниться.
- Если много объектов не проходят через центр, вы получите много окружностей вместо прямых — иногда задача становится ничуть не проще.
- При вычислениях внимательно отслеживайте случай «образ точки = бесконечность» (точка центра инверсии) и направление лучей (ориентация меняется).
- В задачах с многократными касаниями/особенными конфигурациями может понадобиться несколько инверсий или комбинация с гомотетиями; это усложняет композицию преобразований.
Краткая рекомендация: инверсию выгодно применять, когда в исходной задаче есть естественная особая точка (точка касания, заданная точка на искомой окружности, центр одной окружности), так как многие окружности перейдут в прямые и касательные условия станут линейными.