Кратко — главное.
1) Что изменили в аксиоме параллельности
- Евклид: «через точку $P$, не лежащую на прямой $l$, проходит ровно одна прямая, не пересекающая $l$».
- Отрицание или модификация этой аксиомы породило две основные альтерантивы: гиперболическая (множество таких прямых больше одной) и эллиптическая/сферическая (нет ни одной).
2) Подходы Лобачевского и Больяи (гиперболическая геометрия)
- Независимость параллельного постулата доказывали не прямой формальной конструкцией модели, а развитием последовательной геометрии при замене постулата. Лобачевский ($\text{работы около}1829$) и Болyai ($\text{«Аппендикс»,}1832$) независимо вывели полную систему теорем гиперболической геометрии.
- Методы: смешение синтетики и аналитики — введение координат/кривизны и развёртывание новой тригонометрии. Примеры формул:
$$\text{Гиперболический закон косинусов:}\cosh c=\cosh a\cosh b-\sinh a\sinh b\cos \gamma .$$ И свойство треугольника:
$$\alpha +\beta +\gamma <\pi ,\pi -(\alpha +\beta +\gamma )=|K|\cdot \text{Area},$$ где $K<0$ — постоянная кривизна.
- Методологическое значение: показали, что из всех остальных аксиом Евклида следует непротиворечивое, но отличное от евклидова следствие — параллельный постулат не выводим из остальных аксиом; ввели практические вычислительные приёмы для неевклидовой геометрии.
3) Риман (высшая перестановка: метрический/интринсивный подход)
- Риман ($\text{габилитации}1854$) изменил взгляд: геометрия — теория многомерных многообразий с метрикой. Он ввёл метрический квадратичный дифференциал:
$$d{s}^2=\sum _{i,j}{g}_{ij}(x)d{x}^{i}d{x}^j,$$ и локальную кривизну как фундаментальную характеристику пространства. Геометрия теперь не про «параллельность постулата», а про локальную кривизну $K(x)$ (положительную, нулевую или отрицательную).
- На сфере (эллиптическая геометрия, $K>0$) треугольники имеют
$$\alpha +\beta +\gamma >\pi ,\alpha +\beta +\gamma =\pi +K\cdot \text{Area}.$$ - Методологическое значение: перевёл геометрию в аналитико-дифференциальную форму, сделал возможным изучение локальных свойств и вариабельной кривизны, открыл путь к тензорному аппарату и общей теории пространств.
4) Методологические последствия для математики и науки
- Независимость и модели: позднее (Белтрами, Пуанкаре и др.) появились конкретные модели гиперболической и эллиптической геометрий, что дало относительную непротиворечивость (консистентность) неевклидовых геометрий относительно евклидовой системы. Вывод: параллельный постулат независим от остальных аксиом евклидовой геометрии.
- Сдвиг в методе: от единственно «истинной» евклидовой геометрии к множеству формальных, экспериментально проверяемых геометрий; развитие аксиоматического подхода и формализма.
- Инструментарий: римановский локальный подход и тензорная теория породили дифференциальную геометрию; гиперболическая тригонометрия дала новые аналитические методы.
- Философия пространства и физика: признание множественности геометрий повлияло на понимание пространства как эмпирического объекта; римановская геометрия стала математической базой общей теории относительности.
Краткий итог: Лобачевский и Больяи показали конструктивно и вычислительно, что альтернатива параллельному постулату даёт согласующуюся геометрию (гиперболическую); Риман радикально перестроил представление о геометрии как о метрическом многообразии с локальной кривизной. В результате математика сменила фокус: от попыток вывести постулат из остальных аксиом — к признанию разных, формально непротиворечивых геометрий и к появлению мощного аналитико-дифференциального аппарата.