Пусть дано окружность с центром $O$ и радиусом $R$, зафиксирована точка $A$ на этой окружности. Для любой другой точки $B$ на окружности середина хорды $AB$ обозначим $M$. Имеем векторно/координатно
$$OM=\frac{OA+OB}{2}=\frac{OA}{2}+\frac{OB}{2}.$$ При изменении $B$ вектор $OB$ описывает окружность радиуса $R$ с центром в $O$, поэтому $\frac{OB}{2}$ описывает окружность радиуса $\frac{R}{2}$ с центром в $O$. Следовательно все точки $M$ описывают окружность с центром
$$C=\frac{OA}{2},$$ то есть серединой отрезка $OA$, и радиусом $\frac{R}{2}$. Можно также проверить: $|OC|=|CA|=\frac{R}{2}$, поэтому эта окружность проходит через $O$ и через $A$.
Как меняется при изменении $A$: при движении $A$ по исходной окружности центр $C$ перемещается по окружности радиуса $\frac{R}{2}$ с центром в $O$, а радиус множества середин остаётся равным $\frac{R}{2}$. То есть для разных $A$ получаем семейство равных окружностей (радиус $\frac{R}{2}$), центры которых лежат на окружности радиуса $\frac{R}{2}$ вокруг $O$; каждая такая окружность проходит через $O$ и соответствующую $A$.