Ниже — краткое сравнение нескольких обычных формулировок теоремы Пифагора, их логической эквивалентности в евклидовой плоскости и оценка, какие формулировки естественно обобщаются на многомерные пространства.
1) Длина сторон в прямоугольном треугольнике:
В треугольнике с катетами $a,b$ и гипотенузой $c$: $a^2+b^2=c^2.$ Комментарий: базовая алгебраическая формулировка; эквивалентна большинству геометрических формулировок в евклидовой плоскости.
2) Площадь квадратов на сторонах:
Площади квадратов, построенных на сторонах, удовлетворяют $S_a+S_b=S_c,$ что эквивалентно (1) потому что $S_a=a^2$ и т.д.
Комментарий: геометрическая интерпретация (постройки в плоскости); не имеет прямого объёма-аналогa в размерностях >2 (есть обобщения через суммы квадратов длин векторных компонент, но не через «квадраты на сторонах» в том же наглядном смысле).
3) Закон косинусов (частный случай):
Для любого треугольника $c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma$. При $\gamma =90^{\circ }$ получаем (1).
Комментарий: прямое следование; закон косинусов остаётся верным для треугольников в любой евклидовой геометрии (включая трёхмерную и выше при рассмотрении трёх точек в общем положении).
4) Подобие треугольников / геометрическое доказательство:
От основания высоты на гипотенузе получают соотношения $a^2=cp,b^2=cq,h^2=pq$ (где $p,q$ — отрезки на гипотенузе). Суммируя первые два, получаем (1).
Комментарий: доказательство сильно плоское (использует подобие треугольников) и не переносится напрямую в размерности $>2$ (там нет аналога «двух катетов и одной гипотенузы» в форме треугольника в плоскости).
5) Векторная / скалярно-аддитивная формулировка (внутреннее произведение):
Для ортогональных векторов $u,v$ в евклидовом пространстве $⟨u,v⟩=0$ и
$$\Vert u+v{\Vert }^2=\Vert u{\Vert }^2+\Vert v{\Vert }^2.$$ Разложение: $\Vert u+v{\Vert }^2=⟨u+v,u+v⟩=\Vert u{\Vert }^2+2⟨u,v⟩+\Vert v{\Vert }^2.$ Комментарий: эта формулировка эквивалентна (1) в плоскости при отождествлении катетов с векторами; она наиболее естественно обобщается на любые конечномерные (и бесконечномерные) евклидовы (внутренне-произведенные) пространства.
6) Закон параллелограмма:
$\Vert u+v{\Vert }^2+\Vert u-v{\Vert }^2=2\Vert u{\Vert }^2+2\Vert v{\Vert }^2.$ Комментарий: этот тождественный закон верен во всех пространствах с внутренним произведением. Обратно, по теореме Жордана—фон Нойманна: если норма удовлетворяет закону параллелограмма, то она индуцирована некоторым внутренним произведением. Следовательно, параллелограмм-формулировка — структурно сильная и даёт критерий для обобщения евклидовой структуры на многомерные пространства.
Логическая эквивалентность (в евклидовой плоскости)
- (1), (2), (3) и формулы из (4) взаимно выводимы при обычных аксиомах евклидовой геометрии — они одно и то же утверждение в разных интерпретациях.
- (5) эквивалентна (1) при моделировании сторон как векторов; более того, равенство $\Vert u+v{\Vert }^2=\Vert u{\Vert }^2+\Vert v{\Vert }^2$ эквивалентно $⟨u,v⟩=0$ по разложению скалярного квадрата.
- (6) вытекает из (5) и, наоборот (в совокупности с аксиомами нормы), даёт структуру внутреннего произведения.
Какие формулировки проще обобщаются в многомерные пространства
- Натурально обобщаются: векторная/скалярная формулировка (5), координатная формулировка $\Vert x{\Vert }^2={\sum }_{i=1}^n{x}_i^2$ в ортонормированной системе, закон косинусов для трёх точек, и закон параллелограмма (6) — они работают в любом евклидовом (внутренне-произведенном) пространстве размерности $n$.
- Плохо или не в прямом виде обобщаются: классические «квадраты на сторонах» и доказательства через подобие треугольников — это плоские конструкции, не дающие наглядного аналога в большей размерности (хотя алгебраический смысл суммы квадратов длин сохраняется).
Короткая сводка:
- Эквивалентность в плоскости: (1) ⇔ (2) ⇔ (3) ⇔ (4) ⇔ (5) (при представлении сторон как векторов).
- Для обобщений на многомерные пространства опорной и универсальной является векторно-скалярная формулировка $\Vert u+v{\Vert }^2=\Vert u{\Vert }^2+\Vert v{\Vert }^2$ при $⟨u,v⟩=0$ и связанные с ней объекты (координатная формула, закон параллелограмма, поляризационная идентичность $⟨u,v⟩=\frac{1}{2}(\Vert u+v{\Vert }^2-\Vert u{\Vert }^2-\Vert v{\Vert }^2)$).