Пусть эллипс задан в стандартном положении
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,a>b,$$ фокусы $(\pm c,0)$, где $c^2=a^2-b^2$, эксцентриситет $e=\frac{c}{a}$. Фокальные прямые (директрисы) заданы уравнениями
$$x=\pm \frac{a}{e}.$$
1) Уравнение касательной в точке $P=(x_0,y_0)$ эллипса:
$$\frac{x{x}_0}{a^2}+\frac{y{y}_0}{b^2}=1.$$ Её наклон (производная) равен
m(P)=dydx∣P=−b2x0a2y0. m(P)=\frac{dy}{dx}\Big|_{P}=-\frac{b^2 x_0}{a^2 y_0}.
m(P)=dxdy P =−a2y0 b2x0 .
Если взять противоположную точку диаметра $P^{\prime }=(-x_0,-y_0)$, то для неё
$$m(P^{\prime })=-\frac{b^2(-x_0)}{a^2(-y_0)}=-\frac{b^2{x}_0}{a^2{y}_0}=m(P).$$ Итак: касательные в концах любого диаметра параллельны (имеют одинаковый наклон), следовательно они делают с фокальными прямыми одинаковые углы (для директрис вертикального вида угол определяется арктангенсом наклона).
2) Обратное утверждение. Пусть у двух различных точек $P_1=(x_1,y_1)$ и $P_2=(x_2,y_2)$ касательные параллельны, т.е.
$$-\frac{b^2{x}_1}{a^2{y}_1}=-\frac{b^2{x}_2}{a^2{y}_2}\Rightarrow \frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}.$$ Следовательно существует $t$ такой, что $(x_2,y_2)=t(x_1,y_1)$. Подставляя в уравнение эллипса,
$$t^2(\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2})=1,$$ а правая скобка равна 1 (так как $P_1$ на эллипсе), получаем $t^2=1$. Так как точки различны, $t=-1$, то есть $P_2=-P_1$ — противоположная точка, т.е. точки являются концами одного диаметра. Следовательно: параллельность касательных эквивалентна тому, что точки — концы диаметра.
3) Связь с оптическим свойством. Оптическое свойство эллипса: для любой точки $P$ касательная к эллипсу является биссектрисой угла между отрезками $P{F}_1$ и $P{F}_2$; эквивалентно, луч, идущий от $F_1$ и отражённый от эллипса в $P$, проходит через $F_2$. Отсюда для концов диаметра $P$ и $P^{\prime }=-P$ получаем: касательные в этих точках параллельны и в каждой точке касательная симметрично биссектирует углы между соответствующими лучами к фокусам. Поэтому пары лучей от $F_1$, падающие на эллипс в противоположных точках, отражаются в направлении к $F_2$ так, что направления отражённых лучей при этих двух точках параллельны. Это иллюстрирует согласование геометрии диаметров (параллельность касательных) с оптическим свойством эллипса.
Вывод: касательные в концах одного диаметра обладают одинаковыми свойствами касания к фокальным прямым (имеют одинаковый наклон и одинаковые углы с директрисами). И обратное: если две касательные имеют одинаковые углы с фокальными прямыми (параллельны), то соответствующие точки — концы диаметра. Оптическое свойство объясняет физический смысл этой параллельности: касательная в любой точке биндирует лучи от одного фокуса к другому, а для противоположных точек эти направления совпадают по наклону.