Кратко о природе методов и обосновании сохранения углов.
1) Координатный (аналитический) метод.
- Представим подобие как аффинно-линейную функцию (векторы/комплексная форма). В евклидовой плоскости в векторной форме любое преобразование подобия имеет вид
$$F(\mathbf{x})=kQ\mathbf{x}+\mathbf{b},$$ где $k>0$ — коэффициент подобия, $Q$ — ортогональная матрица (поворот или отражение), $\mathbf{b}$ — сдвиг. Для векторов $\mathbf{u},\mathbf{v}$ под образом получим $kQ\mathbf{u}$ и $kQ\mathbf{v}$. Тогда косинус угла сохраняется:
$$\frac{(kQ\mathbf{u})\cdot (kQ\mathbf{v})}{\Vert kQ\mathbf{u}\Vert \Vert kQ\mathbf{v}\Vert }=\frac{k^2(Q\mathbf{u}\cdot Q\mathbf{v})}{k^2\Vert \mathbf{u}\Vert \Vert \mathbf{v}\Vert }=\frac{\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}}{\Vert \mathbf{u}\Vert \Vert \mathbf{v}\Vert }.$$ Аналогично в комплексной записи $f(z)=az+b$ ($a\ne 0$):
$$\arg \frac{f(z_1)-f(z_2)}{f(z_3)-f(z_2)}=\arg \frac{a(z_1-z_2)}{a(z_3-z_2)}=\arg \frac{z_1-z_2}{z_3-z_2},$$ что показывает сохранение ориентации и величины угла. Этот метод даёт строгий вычислительный контроль и легко даёт численные значения.
2) Метод метрических (синтетических) преобразований.
- Тут используют разложение подобия в композицию простых «геометрических» отображений: сдвиг, поворот/отражение (изометрия), гомотетия (масштабирование от центра). Поскольку поворот/отражение сохраняют углы (как изометрии), а гомотетия умножает все расстояния от центра на один и тот же множитель, направления лучей не меняются, следовательно углы тоже сохраняются. Формально: если $S$ — гомотетия с коэффициентом $k$ и $I$ — ортогональное преобразование, то $F=I\circ S$ и оба фактора сохраняют углы, значит так делает и $F$. Этот метод даёт простую и наглядную причину свойства.
Сравнение преимуществ и недостатков.
- Координатный метод: + точные вычисления, удобно при заданных координатах, при доказательствах, требующих явных формул (уравнения прямых/окружностей, длины, углы в числах); − иногда громоздкие алгебраические вычисления, теряется геометрическая наглядность.
- Метрический (синтетический) метод: + короткие и наглядные доводы, хорошо работает с понятиями центра гомотетии, вращения, спиральной подобия, свойствами окружностей; − менее удобен, если требуются конкретные числовые ответы или уравнения.
Примеры задач, где один метод существенно удобнее другого.
- Координатный метод удобнее:
- Дан набор координат вершин треугольника и явно заданное подобие (например, матрица или формула $f(x,y)$). Нужно найти координаты образа вершин, уравнение образа окружности или явное значение угла. (Например: найти образ окружности под $f(x,y)=(2x-y+1,x+2y-3)$.)
- Задачи на нахождение длины/скалярного произведения после преобразования, систем уравнений геометрических условий (пересечение, общая точка) — аналитика проще.
- Метрический/синтетический метод удобнее:
- Доказать, что центры внешней и внутренней гомотетии двух окружностей и их центры лежат на одной прямой (теорема о центрах подобия) — коротко через гомотетию.
- Доказывать подобие треугольников, существование спиральной подобия, свойства Микеля и др. — спиральная подобия и композиция вращения+гомотетии даёт быстрый чисто геометрический аргумент.
- Задачи типа «покажите, что касательные к двум окружностям пересекаются под тем же углом, что и центры окружностей» — синтетика короче.
Краткий критерий выбора. Если надо объяснить почему углы сохраняются — синтетический (метрический) метод короче и нагляднее. Если надо получить численные/аналитические результаты или работать с уравнениями — координатный/комплексный метод удобнее.