Уточнение и формулировка. В классическом виде речь обычно идёт не о произвольных перпендикулярных хордах, а о перпендикулярных диаметрах (хорда, проходящая через центр, — диаметр). Для двух взаимно перпендикулярных диаметров утверждение легко и строго верно; для произвольных перпендикулярных хорд сумма (неквадратов) расстояний не постоянна. Ниже — доказательство для диаметров и обсуждение общего случая.
1) Теорема (для диаметров). Пусть в окружности радиуса $R$ через центр $O$ проведены перпендикулярные диаметры $l_1,l_2$. Для любой точки $P$ окружности сумма квадратов расстояний от $P$ до этих диаметров равна $R^2$ (в частности, квадраты суммируются в постоянную величину; если брать сами расстояния без квадрата — их квадраты постоянны, а сами расстояния зависят от знака проекции).
Доказательство. Введём декартову систему координат с центром в $O$, оси совпадают с $l_1,l_2$. Для точки $P$ имеем координаты $(x,y)$ и $x^2+y^2=R^2$. Расстояния (модуль проекций) от $P$ до диаметров равны $|x|$ и $|y|$, поэтому
$$|x{|}^2+|y{|}^2=x^2+y^2=R^2,$$ что и доказывает постоянство суммы квадратов расстояний. Геометрически это — следствие теоремы Пифагора для проекций радиус-вектора $OP$.
2) Произвольные перпендикулярные хорды. Пусть поддерживающие прямые хорд заданы уравнениями $x=a$ и $y=b$ (перпендикулярны и на расстояниях $|a|,|b|<R$ от центра). Для точки $P=(x,y)$ на окружности расстояния до этих прямых равны $|x-a|$ и $|y-b|$. Их квадраты дают
$$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=x^2+y^2+a^2+b^2-2(ax+by)=R^2+a^2+b^2-2(ax+by),$$ и выражение зависит от точки $P$ через скалярное произведение $ax+by$; поэтому сумма (или сумма квадратов) расстояний не является постоянной в общем случае. Особый случай постоянства — когда $a=b=0$ (т. е. хорды — диаметры).
3) Обобщение. Утверждение о постоянстве (в форме суммы квадратов координат = $R^2$) естественно обобщается: в любой ортонормированной системе проекций сумма квадратов проекций радиус-вектора точки окружности на взаимно перпендикулярные оси равна $R^2$. В n-мерном случае для сферы радиуса $R$ сумма квадратов координат точки сферы равна $R^2$.
Вывод: для двух взаимно перпендикулярных диаметров сумма квадратов расстояний от любой точки окружности до этих диаметров постоянна и равна $R^2$. Для произвольных перпендикулярных хорд такая сумма (без дополнительных условий) не постоянна; формула для суммы квадратов дана выше и показывает зависимость от положения хорд относительно центра.