Обозначим $a=BC$, $b=CA$, $c=AB$. Медиана из вершины $A$ — $m_a$ и дано $m_a=\frac{a}{2}$.
Алгебраическое доказательство.
Формула для квадрата медианы:
$$m_a^2=\frac{2(b^2+c^2)-a^2}{4}.$$ Подставляя $m_a^2=\frac{a^2}{4}$, получаем
$$\frac{2(b^2+c^2)-a^2}{4}=\frac{a^2}{4}⟹b^2+c^2=a^2.$$ Это ровно пифагорово соотношение $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$, значит треугольник прямоугольный в вершине $A$.
Геометрическое доказательство (коротко).
Пусть $M$ — середина $BC$. Тогда $BM=CM=\frac{a}{2}$ и по условию $AM=\frac{a}{2}$, т.е. $AM=BM=CM$. Значит $M$ — центр описанной окружности, а сторона $BC$ является её диаметром, откуда угол при вершине $A$ прямой.
Исследование частных случаев.
- Равнобедренный случай: если $b=c$ (то есть $AB=AC$), то из $b^2+c^2=a^2$ следует $2b^2=a^2$, значит треугольник является прямоугольным равнобедренным (углы при $B$ и $C$ по $45^{\circ }$).
- Вырождение: если треугольник вырожден, то $a=b+c$. Совмещая с $b^2+c^2=a^2$ получаем
$$b^2+c^2=(b+c{)}^2=b^2+c^2+2bc\Rightarrow 2bc=0,$$ откуда $bc=0$. Следовательно один из отрезков $AB$ или $AC$ равен нулю (A совпадает с B или с C) — тривиальный вырожденный случай.
Итог: всякий невырожденный треугольник с медианой из $A$, равной $\frac{1}{2}BC$, обязательно прямоугольный в $A$; он равнобедренный тогда и только тогда, когда $AB=AC$ (тогда это прямоугольный равнобедренный треугольник). Вырожденный случай возможен лишь при совпадении двух вершин.