Обозначим точки пересечения окружностей через $A$ и $B$. Тогда геометрическое место центров всех окружностей, проходящих через $A$ и $B$, — это перпендикулярный биссектор отрезка $AB$.
Короткое доказательство:
- Центр любой окружности, проходящей через $A$ и $B$, равновелик до этих точек, т.е. если $O$ — центр, то $|OA|=|OB|$. Значит $O$ лежит на перпендикулярном биссекторе $AB$.
- Обратно: любая точка на перпендикулярном биссекторе $AB$ равноудалена от $A$ и $B$ и поэтому является центром окружности, проходящей через $A$ и $B$.
Дополнительно: линия $AB$ — радикальная ось данных окружностей и перпендикулярна $O_1{O}_2$, следовательно искомый биссектор перпендикуляра к $AB$ параллелен $O_1{O}_2$ и проходит через середину $M$ отрезка $AB$.
Если задать координаты $A(x_1,y_1)$, $B(x_2,y_2)$, уравнение биссектора:
$$(x-\frac{x_1+x_2}{2})(x_2-x_1)+(y-\frac{y_1+y_2}{2})(y_2-y_1)=0.$$
(Предельный случай — прямая $AB$ как «окружность с бесконечным радиусом», центр в бесконечности вдоль указанного биссектора.)