Кратко — идея: сравнить попарные расстояния между четырьмя данными точками с пропорциями заданных шести рёбер (все перестановки соответствий), и для каждого совпадения проверить невырожденность (строгие неравенства треугольников на гранях и положительный объём по формуле Кэли—Мейнера).
Алгоритм (пошагово):
1) Вычислить шесть попарных расстояний между точками:
$d_{12},d_{13},d_{14},d_{23},d_{24},d_{34}.$
2) Пусть задан вектор отношений для шести рёбер $(r_1,\dots ,r_6)$. Если отношения не привязаны к конкретным парам вершин, перебрать все биекции между множеством шурупных пар $\{12,13,14,23,24,34\}$ и индексами $\{1,\dots ,6\}$ (в худшем случае $6!=720$ перестановок).
3) Для каждой перестановки «назначение» вычислить требуемый масштабный множитель $s>0$. Если данные точные, достаточно взять один ненулевой индекс $p$ и положить
$s=\frac{d_{\text{assigned}(p)}}{r_p},$ и проверить для всех $k$ $d_{\text{assigned}(k)}=s{r}_k.$ В численной задаче можно вычислить оптимальный в смысле наименьших квадратов
$s=\frac{{\sum }_k{d}_{\text{assigned}(k)}{r}_k}{{\sum }_k{r}_k^2}$ и затем проверить относительную ошибку ${\max }_k\frac{|d_{\text{assigned}(k)}-s{r}_k|}{s{r}_k}\le \epsilon$ для выбранного допуска $\epsilon$.
4) Если пропорциональность выполнена (в пределах допуска), проверить, что каждая грань образует ненулевой треугольник: для каждой тройки рёбер грани $a,b,c$ проверить строгие неравенства
$a+b>c,a+c>b,b+c>a.$
5) Проверить невырожденность всего тетраэдра через детерминант Кэли—Мейнера. Составить матрицу
M=(0111110d122d132d1421d1220d232d2421d132d2320d3421d142d242d3420), M=\begin{pmatrix}
0&1&1&1&1\\[4pt]
1&0&d_{12}^2&d_{13}^2&d_{14}^2\\[4pt]
1&d_{12}^2&0&d_{23}^2&d_{24}^2\\[4pt]
1&d_{13}^2&d_{23}^2&0&d_{34}^2\\[4pt]
1&d_{14}^2&d_{24}^2&d_{34}^2&0
\end{pmatrix},
M= 01111 10d122 d132 d142 1d122 0d232 d242 1d132 d232 0d342 1d142 d242 d342 0 , и вычислить
$V^2=\frac{1}{288}\det M.$ Требуется $V^2>0$ (в численном варианте $V^2>\delta$ для малого положительного $\delta$).
6) Если для какой‑то перестановки все проверки прошли — ответ «да» (данные шесть отрезков соответствуют заданным отношениям длины и образуют невырожденный тетраэдр). Если ни одна перестановка не прошла — «нет».
Комментарии и оптимизации:
- Можно предварительно отсеять перестановки по простым соотношениям (например, относительные упорядочения длин: наибольшее должно соответствовать наибольшему и т. п.), чтобы сократить перебор.
- В неточных данных используйте критерий наименьших квадратов и пороги для относительной ошибки и для $V^2$.
- Проверка треугольных неравенств на гранях обычно быстрее, чем подсчёт детерминанта; можно сначала её выполнять как грубой отсекающей проверки.