Рассмотрим прямоугольный треугольник с вершиной в начале координат $O=(0,0)$, причём катеты лежат на осях координат (это можно обеспечить поворотом системы координат). Гипотенуза лежит на прямой
$$ax+by+c=0,$$ и потребуем $a\ne 0,b\ne 0$ (чтобы прямая пересекала обе оси).
Точки пересечения прямой с осями:
- с осью $Ox$: $A(-\frac{c}{a},0)$ (подставили $y=0$);
- с осью $Oy$: $B(0,-\frac{c}{b})$ (подставили $x=0$).
Длины катетов:
OA=∣ ⁣−ca∣=∣c∣∣a∣,OB=∣c∣∣b∣. OA=\left|\!-\frac{c}{a}\right|=\frac{|c|}{|a|},\qquad OB=\frac{|c|}{|b|}.
OA= −ac =∣a∣∣c∣ ,OB=∣b∣∣c∣ . Длина гипотенузы $AB$:
$$AB=\sqrt{(-\frac{c}{a}-0{)}^2+(0+\frac{c}{b}{)}^2}=\sqrt{\frac{c^2}{a^2}+\frac{c^2}{b^2}}=|c|\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}}.$$
Проверим теорему Пифагора:
$$O{A}^2+O{B}^2=\frac{c^2}{a^2}+\frac{c^2}{b^2}=A{B}^2.$$
Таким образом, для заданного расположения (вершина в начале координат, гипотенуза на прямой $ax+by+c=0$) выполнено обобщённое равенство Пифагора $O{A}^2+O{B}^2=A{B}^2$.