Кратко и по существу — сравнение двух подходов к построению треугольника по двум сторонам и углу между ними (случай SAS).
Суть условия
- Даны длины сторон $(a,b)$ и угол между ними $(\gamma )$. Требуется треугольник с вершиной $A$, при которой прилегают стороны длины $a$ и $b$, и включённым углом $\angle A=\gamma$.
Планиметрический (геометрический, циркуль и линейка)
- Метод: провести луч, на нём отложить от вершины отрезок длиной $b$, через вершину построить угол $\gamma$ и на втором его луче отложить отрезок длиной $a$; соединить концы отрезков — получается треугольник (единственный с точностью до наложения).
- Доказательство корректности/единственности: аксиоматически по конгруэнтности (SAS) треугольник однозначен.
- Преимущества:
- Наглядность и простой алгоритм «ручного» построения.
- Точный результат в теоретическом смысле при наличии точного угла и отрезков.
- Минимум формальных вычислений; хорошо для доказательных рассуждений и учебной геометрии.
- Ограничения:
- Практическая точность ограничена инструментами (погрешности при черчении).
- Конструктивные операции предполагают, что заданные величины «можно отложить» циркулем/линейкой (если угол/длины не конструктивны в смысле Евклида, точная постройка теоретически затруднена).
- Сложнее получить явные численные значения (координаты, длины третьей стороны, площадь) без дополнительного вычисления.
Аналитический (координатный)
- Метод: выбрать систему координат, например положить $A=(0,0)$, $B=(b,0)$ (сторона длины $b$ на оси $x$), тогда
$$C=(a\cos \gamma ,a\sin \gamma ).$$ Третью сторону можно найти по закону косинусов
$$c=|BC|=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos \gamma },$$ площадь
$$S=\frac{1}{2}ab\sin \gamma .$$ - Преимущества:
- Получаем явные координаты и формулы для всех искомых величин (сторон, углов, площади).
- Удобство для вычислений, моделирования, численных методов и программной реализации.
- Легко анализировать допустимость/вырожденность (например $\gamma =0$ или $\gamma =\pi$ дают вырожденный треугольник).
- Универсальность: легко обобщается в векторном/матричном виде, в пространстве, для символьных выводов.
- Ограничения:
- Требует использования тригонометрии и/или вычислений с плавающей точкой (возможны округления).
- Меньше геометрической интуиции (координаты зависят от выбора системы).
- Теоретическая «конструктивность» зависит от возможности вычислить $\cos \gamma ,\sin \gamma$ точно; для произвольных углов это может быть невозможно в чисто «евклидовой» конструктивной интерпретации.
Замечания по однозначности и краевым случаям
- В отличие от случая SSA, для SAS треугольник уникален (при $a>0,b>0$ и $0<\gamma <\pi$).
- Если $\gamma =0$ или $\gamma =\pi$ — треугольник вырожден.
- В планиметрии уникальность обеспечивается аксиомами конгруэнтности, в аналитике — формулами (закон косинусов), которые показывают существование единственного решения при обычных условиях.
Вывод
- Планиметрия даёт простой, наглядный и конструктивный способ построения (идеален для доказательств и черчения); аналитическая геометрия даёт точные явные формулы и удобна для вычислений и обобщений, но требует тригонометрии/численных вычислений и теряет некоторую «чистую» конструктивность.