Предложу два простых последовательных способа (с доказательствами и анализом влияния на площадь и отношения сторон).
1) Отражение + середина (простая конструкция, сохраняет площадь и основание)
- Шаги: дан треугольник $ABC$. Постройте перпендикулярный биссектор отрезка $BC$. Отразите точку $A$ относительно этого биссектора, получив $A^{\prime }$. Возьмите середину $P$ отрезка $A{A}^{\prime }$.
- Почему это даёт равнобедренный треугольник: середина $P$ лежит на перпендикулярном биссекторе $BC$, значит $PB=PC$. Следовательно треугольник $PBC$ равнобедренный.
- Влияние на площадь: если длина основания $BC=b$, а высота от вершины к $BC$ равна $h$, то
$$S_{ABC}=\frac{1}{2}bh,S_{PBC}=\frac{1}{2}bh,$$ потому что при приводимой конструкции высота от $P$ к $BC$ равна высоте от $A$ к $BC$. Итого площадь сохраняется.
- Влияние на стороны и их отношения: основания остаются неизменными ($BC$ не меняется), а новые боковые стороны равны: $PB=PC$. Соотношения исходных боковых сторон $AB:AC$ в общем случае меняются на $PB:PC=1$. В координатах (поставив $B=(-d,0),C=(d,0),A=(x,y)$) имеем
$$A{B}^2=(x+d{)}^2+y^2,A{C}^2=(x-d{)}^2+y^2,P{B}^2=P{C}^2=d^2+y^2.$$
2) Аффинное преобразование, задающее вершину на биссекторе (универсальный способ)
- Идея и шаги: выберите точку $A^{\prime }$ на перпендикулярном биссекторе $BC$ (любой, отличная от $B,C$). Существует единственное аффинное преобразование $T$ (невырожденное), такое что
$$T(B)=B,T(C)=C,T(A)=A^{\prime }.$$ Реализуется как линейный оператор $M$ и сдвиг $t$: $T(x)=Mx+t$.
- Почему это переводит в равнобедренный треугольник: по выбору $A^{\prime }$ точка $A^{\prime }$ лежит на биссекторе, значит $A^{\prime }B=A^{\prime }C$; поэтому $T(ABC)=A^{\prime }BC$ — равнобедренный треугольник.
- Влияние на площадь: площадь умножается на множитель $|\det M|$. Если $S_{ABC}$ — исходная площадь, то
$$S_{A^{\prime }BC}=|\det M|S_{ABC}.$$ В частном случае $|\det M|=1$ площадь сохраняется (если $M$ — матрица с детерминантом $\pm 1$).
- Влияние на отношения сторон: под действием $M$ векторы боковых сторон преобразуются как $M(AB)$ и $M(AC)$, поэтому длины в общем случае меняются и отношения сторон не сохраняются; единственное гарантированное — $A^{\prime }B=A^{\prime }C$ (по выбору цели). Если требуется сохранить, например, отношение площадей или длину основания, это задаётся выбором $M$ (или точки $A^{\prime }$) так, чтобы $|\det M|$ или образы соответствующих отрезков имели нужные величины.
- Формула для определения $M$: взяв векторы $v_1=C-B,v_2=A-B,v_2^{\prime }=A^{\prime }-B$, требуемо, чтобы
$$M{v}_1=v_1,M{v}_2=v_2^{\prime }.$$ Тогда детерминант $\det M=\frac{[A^{\prime }BC]}{[ABC]}$ (отношение ориентированных площадей).
Краткие замечания и выводы:
- Метод 1 (отражение + середина) конструктивен, использует только изометрические и средние операции, даёт равнобедренный треугольник с тем же основанием и той же площадью.
- Метод 2 (аффинный) универсален: любой невырожденный треугольник можно аффинно отобразить в любой заданный треугольник, в том числе в равнобедренный; при этом площадь масштабируется на $|\det M|$, а отношения сторон в общем случае не сохраняются.
- Между этими подходами есть компромиссы: если нужно сохранить площадь и основание — используйте метод 1; если требуется точное позиционирование целевого равнобедренного треугольника (например, задана высота или угол) — используйте аффинное преобразование и контролируйте $\det M$.