Построение (для общего случая: точка $P$ не лежит на данных прямых $l_1,l_2$).
Идея: сделать инверсию с центром в $P$. При инверсии круг, проходящий через $P$, переходит в прямую (не проходящую через $P$), а прямая, не проходящая через $P$, переходит в окружность, проходящую через $P$. Тождество касания сохраняется. Поэтому задача сводится к построению общей касательной двух окружностей (образов прямых) и обратной инверсии этой касательной.
Пошагово:
1. Задайте произвольный радиус инверсии $k>0$. Обозначьте инверсию с центром $P$ и радиусом $k$.
2. Получите образы прямых $l_1,l_2$ при этой инверсии. Каждая прямая $l_i$ (не проходящая через $P$) переходит в окружность $K_i$, проходящую через $P$. Практически: возьмите две произвольные точки $A,B$ на $l_i$ (отличные от $P$), постройте их образы $A^{\prime },B^{\prime }$ на лучах $PA,PB$ так, чтобы $|PA|\cdot |P{A}^{\prime }|=k^2$ и $|PB|\cdot |P{B}^{\prime }|=k^2$; окружность через $A^{\prime },B^{\prime },P$ — это $K_i$.
(Если какая‑то прямая проходит через $P$, её образ — сама прямая; этот случай рассматривается отдельно ниже.)
3. Постройте общие касательные прямые к окружностям $K_1$ и $K_2$, не проходящие через $P$. Это стандартная конструкция: найдите центры $O_1,O_2$ и радиусы $r_1,r_2$ окружностей $K_1,K_2$ и затем найдите внешние/внутренние общие касательные (через построение гомотетических центров или через вспомогательную окружность радиуса $|r_1-r_2|$ и т. п.). Каждая общая касательная дает один возможный вариант.
4. Возьмите одну из этих касательных $t$. Инвертируйте $t$ обратно (линия $t$, не проходящая через $P$, при инверсии даёт окружность $C$, проходящую через $P$). Окружность $C$ — искомая: она проходит через $P$ (так как при обратной инверсии прямая даёт окружность через центр инверсии) и касательна к $l_1$ и $l_2$ (так как касание сохраняется при инверсии).
5. Повторив для каждой общей касательной, получите все возможные решения (обычно две).
Краткое доказательство корректности:
- Инверсия с центром $P$ и радиусом $k$ отображает точку $X$ в точку $X^{\prime }$ на луче $PX$ так, что $|PX|\cdot |P{X}^{\prime }|=k^2$.
- При такой инверсии прямая, не проходящая через $P$, переходит в окружность, проходящую через $P$; окружность, проходящая через $P$, переходит в прямую (не через $P$). При этом отношение касательности сохраняется: если две фигуры касаются, то их образы также касаются.
- Поэтому образ искомой окружности (которая проходит через $P$ и касательна к $l_1,l_2$) должен быть прямой, одновременно касательной к образам $K_1,K_2$ прямых $l_1,l_2$. Обратная инверсия этой общей касательной даёт окружность, удовлетворяющую исходным условиям.
- Построение обратимо и выполнимы всеми шагами построения (инвертирование точек и построение общих касательных) с помощью циркуля и линейки.
Особые случаи (кратко):
- Если $P$ лежит на одной из прямых, сказать точнее: если $P\in l_i$. Тогда искомая окружность должна касаться $l_i$ в точке $P$, значит её центр лежит на нормали к $l_i$ через $P$ и одновременно на биссектрисе угла между прямыми. Пересечение этих двух прямых даёт центр; радиус = расстояние до $P$.
- Если одна из прямых проходит через $P$, при инверсии она остаётся прямой; в этом случае задача сводится к нахождению прямой, касательной к одной окружности и проходящей через образ другой прямой — конструкция аналогична и допускает те же шаги с учётом этого случая.
Итого: описанный метод даёт конструкцию (обычно два решения) и корректность следует из свойств инверсии (отображение прямых↔окружностей, сохранение касания и обратимость построений).