Рассмотрим треугольник $ABC$ с длинами сторон $a=|BC|,b=|CA|,c=|AB|$, полупериметром $s=\frac{a+b+c}{2}$ и площадью $\Delta$.
1) Теорема о биссектрисе (внутренняя). Пусть внутренняя биссектриса угла $A$ пересекает $BC$ в точке $D$. Тогда
$$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{c}{b}.$$ Доказательство (кратко): в треугольниках $△ABD$ и $△ACD$ углы при $A$ равны по построению, углы при $D$ комплементарны, значит эти треугольники подобны по двум углам, откуда и отношение сторон.
2) Конкуренция внутренних биссектрис и инцентр. По пункту (1) точка пересечения внутренних биссектрис двух углов (например $A$ и $B$) лежит на биссектрисе третьего угла: если точка $I$ на биссектрисе $A$ и на биссектрисе $B$, то расстояния $d(I,AB)=d(I,AC)$ и $d(I,BA)=d(I,BC)$, откуда $d(I,AC)=d(I,BC)$ и $I$ лежит также на биссектрисе $C$. Следовательно внутренние биссектрисы пересекаются в единственной точке — инцентре $I$. Инцентр равноудален от всех сторон треугольника и является центром вписанной окружности радиуса
$$r=\frac{\Delta }{s}.$$
3) Координатные формулы для инцентра.
- Триллинейные координаты: $I\sim 1:1:1$.
- Барицентрические координаты: $I\sim a:b:c$.
Преобразуя барицентрические в декартовы (или в векторном виде, если $A=(x_a,y_a)$ и т.д.), получаем формулу
$$I=\frac{aA+bB+cC}{a+b+c},$$ т. е.
$$x_I=\frac{a{x}_a+b{x}_b+c{x}_c}{a+b+c},y_I=\frac{a{y}_a+b{y}_b+c{y}_c}{a+b+c}.$$ Краткое обоснование: точка на биссектрисе $A$, рассматриваемая в барицентрических координатах, даёт деление $BC$ в отношении $c:b$, откуда веса пропорциональны длинам сторон.
4) Внешние биссектрисы и эксцентры. Внешняя биссектриса угла в вершине — прямая, делящая дополнительный угол пополам. Пересечение двух подходящих (одной внутренней и двух внешних или двух внешних и т.д., в зависимости от выбора) биссектрис даёт эксцентры. Три эксцентра $I_a,I_b,I_c$ — центры окружностей, касающихся одной стороны треугольника и продолжений двух других (вне треугольника). Каждый эксцентр равноудален от трех прямых-сторон (с учётом знаков расстояний).
5) Координаты эксцентров. В триллинейных и барицентрических координатах:
$$I_a\text{(эксцентр против}A):\text{trilinear}-1:1:1,\text{barycentric}-a:b:c.$$ Аналогично
$$I_b:-b:a:-c,I_c:-c:-b:a$$ (в практическом виде удобнее писать с положительным знаменателем). В векторной/декартовой форме, если $A,B,C$ — радиус-векторы вершин, то
$$I_a=\frac{-aA+bB+cC}{-a+b+c}=\frac{-aA+bB+cC}{b+c-a},$$ $$I_b=\frac{aA-bB+cC}{a-b+c},I_c=\frac{aA+bB-cC}{a+b-c}.$$ Краткое обоснование: аналогично инцентру, но при учёте внешней биссектрисы один из барицентрических весов меняет знак; перевод триллиней→барицентрич.
6) Радиусы касательных окружностей (эксрадиусы). Радиусы эксокружностей выражаются через площадь и полупериметр:
$$r_a=\frac{\Delta }{s-a},r_b=\frac{\Delta }{s-b},r_c=\frac{\Delta }{s-c}.$$
Итого: внутренние биссектрисы пересекаются в инцентре $I$, который в барицентрических координатах имеет вид $(a:b:c)$ и в декартовых — $I=\frac{aA+bB+cC}{a+b+c}$; внешние биссектрисы дают эксцентры с триллинейными координатами $(-1:1:1)$ и в декартовой форме, напр., $I_a=\frac{-aA+bB+cC}{b+c-a}$. Радиусы вписанной и описывающих окружностей связаны с площадью через указанные формулы.