Обозначения. Пусть задана плоскость $\Pi$ и три точки вне неё $A,B,C$. Обозначим прямые, соединяющие попарно эти точки, через $L_{AB}=AB,L_{BC}=BC,L_{CA}=CA$. Пусть $d_A,d_B,d_C$ — знаковые расстояния точек $A,B,C$ до плоскости $\Pi$ (положительные на одной стороне, отрицательные — на другой).
Условие пересечения каждой парыточечной прямой с плоскостью. Прямая $L_{XY}$ пересекает $\Pi$ тогда и только тогда, когда
$$d_X{d}_Y\le 0,$$ (строгое неравенство даёт единственную точку пересечения между точками, равенство соответствует тому, что одна из точек лежит в $\Pi$).
Геометрическая структура и основной вывод. Три точки $A,B,C$ определяют свою плоскость ${\Pi }_{ABC}$. Все три прямые $L_{AB},L_{BC},L_{CA}$ лежат в ${\Pi }_{ABC}$. Пересечение двух плоскостей ${\Pi }_{ABC}$ и $\Pi$ (если оно непусто и плоскости не совпадают) — это прямая $\ell ={\Pi }_{ABC}\cap \Pi$. Поэтому, если хотя бы одна из $L_{AB},L_{BC},L_{CA}$ пересекает $\Pi$, то точка(и) пересечения лежат одновременно и в ${\Pi }_{ABC}$, и в $\Pi$, то есть на линии $\ell$. Следовательно:
- либо ${\Pi }_{ABC}$ параллельна $\Pi$ и ни одна из трёх прямых не пересекает $\Pi$;
- либо ${\Pi }_{ABC}$ пересекает $\Pi$ по прямой $\ell$, и все имеющиеся пересечения $P_{AB}=L_{AB}\cap \Pi ,P_{BC},P_{CA}$ лежат на одной и той же прямой $\ell$ (возможно некоторые совпадают).
Условия образования треугольника в сечении. Для того чтобы три пересечения образовывали невырожденный треугольник в плоскости $\Pi$, нужно, чтобы существовало три попарно различных и неколлинеарных точки пересечения. Но по предыдущему рассуждению все существующие точки пересечения лежат на одной прямой $\ell$, поэтому они всегда коллинеарны. Следовательно:
- НИ при каких положениях трёх произвольных точек $A,B,C$ вне плоскости $\Pi$ прямые, соединяющие эти точки попарно (то есть $AB,BC,CA$), при пересечении с $\Pi$ не могут образовать невырожденный треугольник. Максимум возможны 0, 1 или 2 различные точки пересечения, либо 3 точек, но все они лежат на одной прямой (вырождение).
Краткая сводка условий:
- Для любой пары $X,Y$ требуется $d_X{d}_Y\le 0$ для пересечения $L_{XY}$ с $\Pi$.
- Если выполнены пересечения для нескольких пар, то все точки пересечения лежат на $\ell ={\Pi }_{ABC}\cap \Pi$ и потому коллинеарны.
- Следствие: треугольник в пересечении невозможен.