Теорема (в форме). В любом невырожденном треугольнике $ABC$ существуют и единственны описанная окружность с центром $O$ и радиусом $R$ и вписанная окружность с центром $I$ и радиусом $r$. Более того одну может задать векторно: позиционные векторы вершин $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$ дают
$$\mathbf{o}\text{— единственное решение системы}|\mathbf{o}-\mathbf{a}|=|\mathbf{o}-\mathbf{b}|=|\mathbf{o}-\mathbf{c}|,$$ а центр вписанной окружности выражается как
$$\mathbf{i}=\frac{a\mathbf{a}+b\mathbf{b}+c\mathbf{c}}{a+b+c},$$ где $a=|\mathbf{b}-\mathbf{c}|$, $b=|\mathbf{c}-\mathbf{a}|$, $c=|\mathbf{a}-\mathbf{b}|$. Радиусы связаны с площадью $\Delta$ и полупериметром $s=\frac{a+b+c}{2}$ через
$$r=\frac{\Delta }{s},R=|\mathbf{o}-\mathbf{a}|.$$
Короткие векторные доказательства (с пояснениями).
1) Описанная окружность (существование и единственность центра).
Пусть искомый центр $\mathbf{o}$ — вектор в плоскости. Из равенства расстояний:
$$|\mathbf{o}-\mathbf{a}{|}^2=|\mathbf{o}-\mathbf{b}{|}^2,|\mathbf{o}-\mathbf{b}{|}^2=|\mathbf{o}-\mathbf{c}{|}^2.$$ Вычитая квадратные выражения, получаем две линейные уравнения относительно $\mathbf{o}$:
$$(\mathbf{a}-\mathbf{b})\cdot \mathbf{o}=\frac{1}{2}(|\mathbf{a}{|}^2-|\mathbf{b}{|}^2),(\mathbf{b}-\mathbf{c})\cdot \mathbf{o}=\frac{1}{2}(|\mathbf{b}{|}^2-|\mathbf{c}{|}^2).$$ Так как в невырожденном треугольнике векторы $\mathbf{a}-\mathbf{b}$ и $\mathbf{b}-\mathbf{c}$ линейно независимы, система имеет единственное решение $\mathbf{o}$. Радиус $R$ затем определяется как $R=|\mathbf{o}-\mathbf{a}|$.
(Комментарий: это просто решение системы двух линейных уравнений в двумерном пространстве — векторами задаётся пересечение двух перпендикулярных биссектрис хордов; метод легко обобщается в координатах.)
2) Вписанная окружность: формула центра и радиуса.
Определим $a=|\mathbf{b}-\mathbf{c}|$, $b=|\mathbf{c}-\mathbf{a}|$, $c=|\mathbf{a}-\mathbf{b}|$ и $p=a+b+c$. Рассмотрим вектор
$$\mathbf{i}=\frac{a\mathbf{a}+b\mathbf{b}+c\mathbf{c}}{p}.$$ Покажем, что $\mathbf{i}$ равноудалён от трёх сторон (тогда это центр вписанной окружности).
Обозначим скалярный «векторный» псевдопроизведение в плоскости через $\times$ (скалярная псево\-взятая, дающая удвоенную ориентированную площадь): для плоскостных векторов $\mathbf{u},\mathbf{v}$ число $|\mathbf{u}\times \mathbf{v}|/2$ — модуль площади параллелограмма. Площадь треугольника $ABC$:
$$\Delta =\frac{1}{2}|(\mathbf{b}-\mathbf{a})\times (\mathbf{c}-\mathbf{a})|.$$ Расстояние от точки с вектором $\mathbf{x}$ до прямой через $\mathbf{b},\mathbf{c}$ равно
$$\mathrm{dist}(\mathbf{x},BC)=\frac{|(\mathbf{b}-\mathbf{c})\times (\mathbf{x}-\mathbf{b})|}{|\mathbf{b}-\mathbf{c}|}.$$ Подставляя $\mathbf{x}=\mathbf{i}$ и пользуясь линейностью произведения $\times$ и тем, что $(\mathbf{b}-\mathbf{c})\times \mathbf{b}=(\mathbf{b}\times \mathbf{b})-(\mathbf{c}\times \mathbf{b})=-\mathbf{c}\times \mathbf{b}$ и т.п., после упрощения получаем одинаковое выражение для трёх сторон:
$$\mathrm{dist}(\mathbf{i},BC)=\mathrm{dist}(\mathbf{i},CA)=\mathrm{dist}(\mathbf{i},AB)=\frac{2\Delta }{p}.$$ Следовательно $\mathbf{i}$ — центр вписанной окружности, радиус
$$r=\frac{2\Delta }{p}=\frac{\Delta }{s}.$$
(Ключевая идея: благодаря весам $a,b,c$ суммы псевдопроизведений с векторами вершин дают одинаковую величину; детали расчёта компактны, используют линейность. Если нужно, можно раскрыть шаги раскрытия кросс-выражений.)
Короткое следствие (соотношение Ойлера): объединяя векторные выражения и стандартные тригонометрические формулы, легко получить классическое соотношение между центрами:
$$|\mathbf{O}I{|}^2=R(R-2r).$$ Векторный вывод этого равенства проводят, разместив $\mathbf{O}$ в начале координат (тогда $|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|=|\mathbf{c}|=R$), подставляя формулу для $\mathbf{i}$ через веса $a=2R\sin A$ и упрощая скалярные произведения $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=R^2\cos 2C$. Алгебра даёт требуемое равенство.
Сравнение с классическими синтетическими доказательствами.
- Что даёт векторный подход:
- Алгебраическая чёткость и формулы: компактные выражения для центров и радиусов в координатах (удобно для вычислений, обобщений, механической реализации).
- Простое получение линейных уравнений (описанная окружность) и веса в формуле инцентра (барицентрические веса).
- Хорош для перехода к координатным системам, аналитическим задачам, программированию.
- Что даёт синтетический (классический) подход:
- Геометрическая интуиция: доказательства через свойства биссектрис, подобие треугольников, равенства углов и отношений отрезков (например, доказательство формы $r=\Delta /s$ через равные площади).
- Обычно более краткие и «визуально» понятные аргументы без тягомотной алгебры.
- Лучше раскрывает причину геометрических зависимостей (например, почему биссектрисы пересекаются в одной точке).
- Ограничения:
- Векторный/аналитический метод иногда приводит к «многоалгебре», скрывая геом. причины; требует аккуратных вычислений.
- Синтетические доказательства иногда трудно формализовать для вычислений и обобщений (например, в n‑мерном пространстве или при работе с большими выражениями).
Вывод: векторный подход удобен для получения явных формул, численных вычислений и обобщений; синтетический — для интуиции и компактных качественных аргументов. В практической работе оба подхода взаимно дополняют друг друга.
Если хотите, могу развернуть полный пошаговый векторный вывод для формулы $O{I}^2=R(R-2r)$ или полностью расписать проверку равенства расстояний при формуле $\mathbf{i}=\frac{a\mathbf{a}+b\mathbf{b}+c\mathbf{c}}{a+b+c}$.