Короткий ответ: утверждение в общем неверно. Доказательство и примеры далее.
1) Эквивалентность с перпендикулярностью. Пусть вершины тетраэдра заданы векторами $a,b,c,d\in {\mathbb{R}}^3$. Тогда
$$(|a-b{|}^2+|c-d{|}^2)-(|a-c{|}^2+|b-d{|}^2)=-2((a-c)\cdot (b-d)).$$ Следовательно одинаковость сумм квадратов
$$|a-b{|}^2+|c-d{|}^2=|a-c{|}^2+|b-d{|}^2$$ равносильна условию
$$(a-c)\cdot (b-d)=0,$$ то есть векторам (рёбрам) $AC$ и $BD$ — перпендикулярности.
2) Почему это не даёт оси симметрии. Равенство сумм (или, эквивалентно, перпендикулярность двух противоположных рёбер) не гарантирует наличия поворотной симметрии на $180^{\circ }$, т.к. для такой симметрии нужнее, чтобы ось поворота проходила через середины этих рёбер и была перпендикулярна обоим рёбрам (тогда ось будет серединно-перпендикулярной для каждого из отрезков и поворот переставит концы). Перпендикулярность рёбер сама по себе не обеспечивает перпендикулярности оси к этим рёбрам.
3) Контрпример (равенство сумм есть, симметрии нет). Возьмём
$$A=(0,0,0),C=(2,0,0),B=(0,0,1),D=(0,2,1).$$ Тогда $AC=(2,0,0),BD=(0,2,0)$ и $(a-c)\cdot (b-d)=AC\cdot BD=0$, значит
$$|AB{|}^2+|CD{|}^2=|AC{|}^2+|BD{|}^2.$$ Между тем середины $AC$ и $BD$ равны $M_{AC}=(1,0,0)$ и $M_{BD}=(0,1,1)$; вектор оси $v=M_{BD}-M_{AC}=(-1,1,1)$ даёт
$$v\cdot AC=(-1,1,1)\cdot (2,0,0)=-2\ne 0,$$ то есть эта «ось» не перпендикулярна $AC$. Следовательно нет поворота на $180^{\circ }$, переставляющего $A\leftrightarrow C$ и $B\leftrightarrow D$ — симметрии нет.
4) Пример, где равенство даёт ось симметрии. Возьмём
$$A=(1,0,1),C=(-1,0,1),B=(0,1,-1),D=(0,-1,-1).$$ Здесь $AC=(-2,0,0),BD=(0,-2,0)$, они перпендикулярны; середины $(0,0,1)$ и $(0,0,-1)$ лежат на оси $z$-; ось $z$ перпендикулярна и к $AC$, и к $BD$, поэтому поворот на $180^{\circ }$ вокруг оси $z$ меняет $A\leftrightarrow C,B\leftrightarrow D$. То есть равенство сумм здесь сопровождается осью симметрии.
5) Замечание. Если равенство сумм выполняется для всех трёх пар противоположных рёбер,
$$|AB{|}^2+|CD{|}^2=|AC{|}^2+|BD{|}^2=|AD{|}^2+|BC{|}^2,$$ то тетраэдр ортогонален (противоположные рёбра попарно перпендикулярны). И всё же ортогональный тетраэдр в общем не обязателен иметь ось симметрии (условие перпендикулярности каждого лишь даёт геометрическую структуру, а не обязательную поворотную симметрию).
Итого: равенство сумм квадратов противоположных рёбер эквивалентно перпендикулярности соответствующих рёбер, но не эквивалентно наличию оси симметрии; нужны дополнительные условия (середины рёбер на одной прямой и эта прямая перпендикулярна обоим рёбрам).