Алгоритм (алгебраический, затем геометрическая реализация):
1) Пусть заданы высоты $h_a,h_b,h_c>0$. Введите обратные величины
$$u_1=\frac{1}{h_a},u_2=\frac{1}{h_b},u_3=\frac{1}{h_c}.$$
2) Проверьте неравенства (необходимое условие):
$$u_1<u_2+u_3,u_2<u_1+u_3,u_3<u_1+u_2.$$ Если одно из них нарушено — невозможно построить ненулевой треугольник; при равенстве \((=\)) получается вырождённый треугольник с \(S=0\).
3) Если неравенства строгие, вычислите
$$Q=(u_1+u_2+u_3)(-u_1+u_2+u_3)(u_1-u_2+u_3)(u_1+u_2-u_3).$$ Тогда $Q>0$ и
$$k=\frac{2}{\sqrt{Q}}.$$ Длины сторон равны
$$a=k{u}_1,b=k{u}_2,c=k{u}_3.$$
4) Геометрически: построить отрезки длины $a,b,c$ и соединить их в треугольник (SSS). Альтернативно: найти площадь $S=k/2$ и затем строить треугольник по сторонам.
Обоснование существования и единственности:
- Подстановка $a=k{u}_1$ и применение формулы Герона даёт уравнение для $k$: $(k/2{)}^2=p(p-a)(p-b)(p-c)$, которое сводится к $4=k^{2}Q$. Отсюда при $Q>0$ положительное $k$ единственно: $k=2/\sqrt{Q}$. Следовательно стороны $a,b,c$ единственно определены, и треугольник однозначен с точностью до конгруэнции (и отражения).
- Если одно из неравенств для $u_i$ не выполняется, то соответствующий множитель в $Q$ не положителен и нет ненулевого решения; при равенстве $Q=0$ — вырождение.
Контр-примеры:
- Нет решения: $h_a=1,h_b=10,h_c=10$. Тогда $u_1=1,u_2=u_3=0.1$ и $u_1>u_2+u_3$, значит нет треугольника с такими высотами.
- Вырожденный случай: $h_a=1,h_b=2,h_c=2$. Тогда $u_1=1,u_2=u_3=0.5$ и $u_1=u_2+u_3$ → $Q=0$ → вырождение (площадь $S=0$).
- Пример существования: $h_a=h_b=h_c=3$. Тогда $u_i=1/3$ удовлетворяют неравенствам, $Q>0$, $k$ и стороны вычисляются по формулам, треугольник существует и единственен.
Кратко: существует ненулевой треугольник с заданными высотами тогда и только тогда, когда обратные высот $u_i=1/h_i$ удовлетворяют строгим неравенствам треугольника; при этом решение однозначно (с точностью до конгруэнции).