Пусть обозначения углов стандартные: $A=\angle BAC,B=\angle ABC,C=\angle ACB$. Дано $A=B+C$.
1) Определение типа треугольника.
Из суммы углов треугольника $A+B+C=\pi$ и $A=B+C$ следует
$$(B+C)+B+C=\pi ⟹2(B+C)=\pi ⟹B+C=\frac{\pi }{2},$$ откуда
$$A=\frac{\pi }{2}.$$ Итого треугольник прямоугольный в вершине $A$.
2) Теорема Пифагора.
В прямоугольном треугольнике с прямым углом при $A$ по теореме косинусов или по классической формуле:
$$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2.$$
3) Соотношения через синусную теорему.
По синусной теореме
$$\frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}.$$ Так как $\sin A=1$, получаем
$$AB=BC\sin C,AC=BC\sin B.$$ Отсюда
$$\frac{AB}{AC}=\frac{\sin C}{\sin B}=\frac{\sin C}{\cos C}=\tan C,$$ поскольку $B=\frac{\pi }{2}-C$.
4) Следствия об относительных размерах сторон.
- Гипотенуза самая большая: $BC>\max (AB,AC)$, так как $\sin B,\sin C\le 1$.
- Одинаковость сторон: $AB=AC$ тогда и только тогда, когда $\tan C=1$, т.е. $C=\frac{\pi }{4}$ и потому $B=\frac{\pi }{4}$. Значит единственный случай равнобедренности при данном условии — $B=C=45^{\circ }$.
- Порядок сторон соответствует порядку противоположных углов: если $B>C$, то $AC>AB$. Это видно либо из общих свойств треугольника, либо из формулы $\frac{AB}{AC}=\tan C$: при $C<\frac{\pi }{4}$ имеем $\tan C<1\Rightarrow AB<AC$.
5) Высота из прямого угла.
Высота из вершины $A$ на гипотенузу равна
$$h=\frac{2\cdot [△ABC]}{BC}=\frac{AB\cdot AC}{BC}.$$
Итого: данное условие эквивалентно тому, что треугольник прямоугольный при $A$; далее выполняются все стандартные для прямоугольного треугольника соотношения (Пифагор, синусная теорема, соотношения для высоты и т.д.), единственный случай равнобедренности — $B=C=45^{\circ }$.