Задача. Для фиксированного отрезка $AB$ найти геометрическое место точек $X$ в плоскости таких, что $\angle AXB=\alpha$ (исключая $A,B$).
Общее рассуждение (формула). Для точки $X$ на некоторой окружности с центром $O$ угол, опирающийся на хорду $AB$, равен половине центрального угла, заключённого на ту же хорду. Поэтому центральный угол должен быть $2\alpha$, а длина хорды $AB$ связана с радиусом $R$ как
$$AB=2R\sin \alpha \Rightarrow R=\frac{AB}{2\sin \alpha }.$$ Обозначим середину $AB$ через $M$. Центр(ы) окружности(ей) лежат на перпендикулярной биссектрисе $AB$ на расстоянии
$$MO=\sqrt{R^2-{\left(\frac{AB}{2}\right)}^2}=\frac{AB}{2}\cot \alpha$$ от $M$ (модуль расстояния при необходимости).
Построение.
1. Провести середину $M$ отрезка $AB$ и перпендикулярную биссектрису.
2. Построить радиус $R=\frac{AB}{2\sin \alpha }$.
3. На перпендикулярной биссектрисе от $M$ отложить в обе стороны расстояние $MO=\frac{AB}{2}\cot \alpha$ — получим два центра $O_1,O_2$.
4. Построить окружности радиуса $R$ с центрами $O_1$ и $O_2$. Геометрическое место точек — соответствующие дуги этих окружностей (исключая $A$ и $B$), на которых угол $AXB=\alpha$.
Различные случаи.
- $\alpha =90^{\circ }$. Тогда $\sin \alpha =1$, $R=\frac{AB}{2}$ и $\cot \alpha =0$, поэтому $O_1=O_2=M$. Локус — одна окружность с диаметром $AB$ (теорема Фалеса): все точки на этой окружности (кроме $A,B$) видят $AB$ под углом $90^{\circ }$.
- $\alpha <90^{\circ }$. Тогда $\cot \alpha >0$. Получаем два разных центра $O_1,O_2$ на перпендикулярной биссектрисе по разные стороны от $M$, радиус $R=\frac{AB}{2\sin \alpha }$. Центральный угол $2\alpha <180^{\circ }$, поэтому требуемые точки лежат на соответствующих меньших дугах (между $A$ и $B$) этих двух окружностей — по одной дуге с каждой стороны от прямой $AB$. Дуги симметричны относительно $AB$.
- $\alpha >90^{\circ }$. Тогда $\cot \alpha <0$, формула даёт те же два центров $O_1,O_2$ (симметрично относительно $M$), но центральный угол $2\alpha >180^{\circ }$. Радиус всё так же $R=\frac{AB}{2\sin \alpha }$. Требуемые точки лежат теперь на больших дугах этих окружностей (т.е. на той части окружности между $A$ и $B$, для которой соответствующий центральный угол равен $2\alpha$). Иначе: расположение центров меняет сторону, на которой находятся соответствующие дуги, но геометрическое место по-прежнему даётся двумя дугами (по одной с каждой стороны от прямой $AB$).
Замечания и предельные случаи. При $\alpha \to 0$ или $\alpha \to 180^{\circ }$ радиус $R\to \infty$, и две дуги стремятся к двум прямым (соответствующим двум возможным направлениям лучей через $A$ и $B$).