Надо уточнить стандартное предположение: эллипсы в каноническом виде, центр в начале координат и большая ось по оси $Ox$. Тогда семейство задаётся
$$\frac{x^2}{a(t{)}^2}+\frac{y^2}{b(t{)}^2}=1,a(t)\ge b(t)>0,$$ где $t$ — параметр. Основные выражения и их зависимость от параметра:
- фокусное полурасстояние:
$$c(t)=\sqrt{a(t{)}^2-b(t{)}^2};$$
- эксцентриситет:
$$e(t)=\frac{c(t)}{a(t)}=\sqrt{1-\frac{b(t{)}^2}{a(t{)}^2}};$$
- площадь:
$$S(t)=\pi a(t)b(t).$$
Производные (нужны для знаков изменения):
$$c^{\prime }(t)=\frac{a(t)a^{\prime }(t)-b(t)b^{\prime }(t)}{\sqrt{a(t{)}^2-b(t{)}^2}},S^{\prime }(t)=\pi (a^{\prime }(t)b(t)+a(t)b^{\prime }(t)),$$ $$e^{\prime }(t)=\frac{c^{\prime }(t)a(t)-c(t)a^{\prime }(t)}{a(t{)}^2}.$$ Отсюда: если, например, $a$ растёт и $b$ фиксирован, то $c$, $e$ и $S$ растут; если $b$ уменьшается при фиксированном $a$, то тоже $c$, $e$ растут, а $S$ уменьшается.
Граничные случаи:
- при $a=b$ получаем окружность: $c=0,e=0$;
- при $b\to 0$ — вырожденный отрезок: $c\to a,e\to 1,S\to 0$.
Геометрическое место фокусов:
фокусы каждого эллипса находятся в точках
$$(\pm c(t),0).$$ Следовательно геометрическое место всех фокусов семейства — объединение точек $(\pm \sqrt{a(t{)}^2-b(t{)}^2},0)$ при всех $t$. Если дано дополнительное соотношение между $a$ и $b$ (например, $F(a,b)=0$), то для получения уравнения множества фокусов нужно ввести $x^2=a^2-b^2$ и исключить $a,b$ через это и условие $F$.
Небольшие иллюстративные примеры:
- Если $a^2-b^2=c_0^2$ (константа), то $c=c_0$ и фокусы фиксированы: $(\pm c_0,0)$.
- Если $ab=$ const ($=S_0/\pi$), то площадь постоянна, а фокусы задаются $x=\pm \sqrt{a^2-(S_0/(\pi a){)}^2}$ (зависимость от параметра $a$).
- Если $a^2+b^2=R^2$, то
$$x^2=a^2-b^2=2a^2-R^2,$$ и при допустимых $a$ значения $x$ пробегают от $0$ до $R$, поэтому множество фокусов — отрезок $[-R,R]$ на оси $Ox$ (симметрично знаку).
Таким образом поведение $c,e,S$ полностью определяется функциями $a(t),b(t)$; геометрическое место фокусов — симметричная по оси $Oy$ подсистема точек $(\pm \sqrt{a(t{)}^2-b(t{)}^2},0)$, которую при заданном соотношении между $a$ и $b$ можно явно найти методом подстановки $x^2=a^2-b^2$.