Коротко и формально.
Пусть задан треугольник-«эталон» с углами $\alpha ,\beta ,\gamma$ (все $>0$, $\alpha +\beta +\gamma =\pi$). Требуется замостить шар (замкнутую поверхность) копиями этого треугольника, склеивая ребра «ребро к ребру», так чтобы в результате получился замкнутый многогранник (вероятно выпуклый). Обозначим число граней $F$, рёбер $E$, вершин $V$.
1) Комбинаторические необходимые условия (универсальные для треугольной тесселяции замкнутой поверхности):
- формула Эйлера
$$V-E+F=2,$$ - каждое ребро принадлежит двум треугольникам, каждое треугольник имеет 3 ребра, поэтому
$$3F=2E.$$ Из них для выпуклого случая получаем (утверждение часто используемое)
$$F=2V-4,E=3V-6.$$ В частности сумма степеней вершин равна $2E=6V-12$, средняя степень вершины равна
$$\bar{d}=6-\frac{12}{V}<6.$$
2) Учет углов: у каждой копии треугольника есть три угловых «куска» $\alpha ,\beta ,\gamma$. Для каждой вершины $v$ пусть $a_v,b_v,c_v$ — целые $\ge 0$ — числа прилежащих к $v$ углов типа $\alpha ,\beta ,\gamma$. Тогда глобально
$$\sum _v{a}_v=\sum _v{b}_v=\sum _v{c}_v=F,$$ и сумма углов вокруг вершины
$$S_v=a_v\alpha +b_v\beta +c_v\gamma .$$ Из сумм по всем вершинам видно, что
$$\sum _v{S}_v=F(\alpha +\beta +\gamma )=F\pi .$$
3) Геометрические условия для выпуклого многогранника (необходимые и по Александрову — достаточные):
- в каждой вершине суммарный плоский угол должен быть меньше $2\pi$:
$$\forall v{S}_v<2\pi .$$ - суммарная «угловая недостаточность» по всем вершинам равна $4\pi$:
$$\sum _v(2\pi -S_v)=4\pi .$$ Это равенство следует из предыдущих формул и из ${\sum }_v{S}_v=F\pi$ вместе с тем, что для выпуклого многогранника сумма дефектов равна $4\pi$.
Александров (теорема о выпуклой полиэдральной метрике) дает следующую точную формулировку достаточности: если можно склеить конечное число копий данного евклидова треугольника по рёбрам так, чтобы получилась метрика на сфере с единственными сингулярностями в вершинах и в каждой вершине конусный угол $S_v<2\pi$, то существует единственный (с точностью до движений в пространстве) выпуклый многогранник, реализующий эту метрическую поверхность. Следовательно:
Необходимое и достаточное условие существования выпуклого многогранника со всеми гранями, конгруэнтными заданному треугольнику, можно дать так:
«существует склейка конечного числа копий данного треугольника по рёбрам, дающая сферическую полиэдральную метрику с конусными углами $S_v<2\pi$ в вершинах» ⟺ «существует выпуклый многогранник с такими гранями» (и он единственен).
4) Практический критерий в комбинаторико-угловой форме. Нужно найти целое число $F\ge 4$ и разбиение множества $F$ углов каждого типа на вершины, то есть найти натуральные тройки $(a_v,b_v,c_v)$ для $v=1,\dots ,V$, такие что
- ${\sum }_v{a}_v={\sum }_v{b}_v={\sum }_v{c}_v=F$,
- для всех $v$ выполнено $S_v=a_v\alpha +b_v\beta +c_v\gamma <2\pi$,
- суммарно $V-E+F=2$ и $3F=2E$ (эквивалентно $F=2V-4$).
Если такое распределение углов и схема склейки (где каждое ребро используется ровно два раза) существует, то по Александрову воплощение в выпуклый многогранник гарантировано.
5) Примеры и семейства конструкций:
- тетраэдр (4 грани): для любой тройки длин сторон, удовлетворяющей неравенствам треугольника, можно построить «дисфеноид» — тетраэдр с парами противоположных рёбер равными; его 4 грани конгруэнтны исходному треугольнику (пример реализации 4-кратного склеивания);
- бипирамиды (две одинаковые пирамиды над n‑угольником): для изосцелеского треугольника можно построить бесконечную семью двугранников (число треугольников $F=2n$); условие на углы сводится к тому, что суммы соответствующих базовых углов при экваториальных вершинах < $2\pi$;
- для равносторонних треугольников получаются дельтахедры (конечный набор выпуклых случаев: известны восемь выпуклых дельтахедров).
6) Замечания о невыпуклых вариантах: если некоторым вершинам разрешить $S_v>2\pi$ (конусный угол > $2\pi$), то получаются невыпуклые многогранники; в этом случае критерии существования сложнее (обобщённые версии теорем Александрова/Паде и условия на развитие), но алгоритм остаётся: нужно задать склейку, получить целостную метрику на сфере (в общем случае с отрицательными дефектами) и проверить возможность вложения в ${\mathbb{R}}^3$.
Короткая инструкция по конструированию на практике:
- выберите эталонный треугольник ($\alpha ,\beta ,\gamma$);
- выберите $F$ и постройте распределение углов по вершинам $(a_v,b_v,c_v)$ с указанными свойствами и $S_v<2\pi$;
- убедитесь, что можно склеить грани по рёбрам (каждое ребро должно быть использовано ровно дважды) и получилась сфера; тогда по Александрову существует (и единственен) выпуклый многогранник.
Таким образом: необходимые и достаточные условия — это возможность склеить копии треугольника в сферическую полиэдральную метрику с конусными углами строго меньше $2\pi$ (для выпуклости); в алгебраическом виде это эквивалентно системе равенств и неравенств, приведённых выше: $\alpha +\beta +\gamma =\pi$, ${\sum }_v{a}_v={\sum }_v{b}_v={\sum }_v{c}_v=F$, $S_v<2\pi$, $3F=2E$, $V-E+F=2$ и ${\sum }_v(2\pi -S_v)=4\pi$.