Пусть заданы три непараллельные прямые $L_i:{\ell }_i(x,y)={\alpha }_{i}x+{\beta }_{i}y+{\gamma }_i=0$ ($i=1,2,3$), и задана тройка неотрицательных чисел $(a_1,a_2,a_3)$ (не все нули). Требуется найти точки $P=(x,y)$ такие, что расстояния от $P$ до $L_i$ равны $t{a}_i$ для некоторого масштабного множителя $t\ge 0$. Обозначим нормировочные множители $N_i=\sqrt{{\alpha }_i^2+{\beta }_i^2}$.
Основная идея. Считая ориентированные расстояния (с учётом стороны относительно прямой), для каждой комбинации знаков ${\epsilon }_i\in \{+1,-1\}$ имеем линейные уравнения
$$\frac{{\ell }_i(x,y)}{N_i}={\epsilon }_{i}t{a}_i,i=1,2,3.$$ Это эквивалентно трёхпеременному линейному уравнению
$${\alpha }_{i}x+{\beta }_{i}y-{\epsilon }_i{a}_i{N}_{i}t=-{\gamma }_i,i=1,2,3.$$ Поэтому для каждого выбора трёх знаков $({\epsilon }_1,{\epsilon }_2,{\epsilon }_3)$ решается линейная система
(α1β1−ε1a1N1α2β2−ε2a2N2α3β3−ε3a3N3)(xyt)=(−γ1−γ2−γ3). \begin{pmatrix}
\alpha_1&\beta_1& -\varepsilon_1 a_1 N_1\\[4pt]
\alpha_2&\beta_2& -\varepsilon_2 a_2 N_2\\[4pt]
\alpha_3&\beta_3& -\varepsilon_3 a_3 N_3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}x\\y\\t\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}-\gamma_1\\-\gamma_2\\-\gamma_3\end{pmatrix}.
α1 α2 α3 β1 β2 β3 −ε1 a1 N1 −ε2 a2 N2 −ε3 a3 N3 xyt = −γ1 −γ2 −γ3 .
Метод нахождения решений
- Для каждой из $2^3=8$ комбинаций $({\epsilon }_1,{\epsilon }_2,{\epsilon }_3)$ решите указанную систему (обычно по Крамеру или методом Гаусса).
- Если для данной комбинации определитель матрицы коэффициентов $\Delta \ne 0$, система даёт единственное тройное значение $(x,y,t)$. Берём решение только в том случае, если полученное $t\ge 0$ (и абсолютные значения ориентированных расстояний соответствуют $t{a}_i$).
- Если $\Delta =0$, тогда либо нет решений для этой комбинации, либо семейство решений (вырожденный случай) — в этом случае система либо несовместна, либо имеет бесконечно много решений (геометрически это связано с тем, что уравнения зависимы и задают прямую в пространстве $(x,y,t)$ — при проекции на плоскость может получиться прямая множества точек).
Доказательство корректности и оценка числа решений
- Корректность: расстояние до прямой выражается линейно через ${\ell }_i(x,y)$, поэтому поиск точек с заданными (ориентированными) расстояниями сводится к линейной системе выше; абсолютные величины учтены выбором знаков ${\epsilon }_i$.
- Число решений: каждая комбинация знаков даёт либо 0, либо 1 (при $\Delta \ne 0$) либо бесконечно много решений (при вырождении). Значит, в невырожденном общем случае имеется не более $8$ точек; многие комбинации исключатся условием $t\ge 0$ и геометрическими несовместимостями, так что реальное число решений обычно меньше.
Геометрическая интерпретация (конструкция)
- Для фиксированного $t>0$ и фиксанных ${\epsilon }_i$ проведите для каждой прямой $L_i$ параллельную прямую на расстоянии $t{a}_i$ на стороне, соответствующей ${\epsilon }_i$. Если три полученные параллельные прямые пересекаются в одной точке, то это искомая точка. Путём вариации $t$ (решая уравнение на соответствие третьей прямой) ищут допустимый масштабный множитель. Алгебраически этот процесс эквивалентен решению системы выше.
Особые случаи
- Если некоторый $a_i=0$, то требуется, чтобы искомая точка лежала на соответствующей прямой $L_i$ (это убирает одну неизвестную из системы).
- Если все три данные прямые пересекаются в одной точке $O$, то тривиальное решение есть при пропорциональной тройке, соответствующей угловым биссектрисам; в вырожденных конфигурациях может появиться бесконечно много решений.
Итог: практический алгоритм — выписать уравнения с ориентированными расстояниями, перебрать комбинации знаков, решить трёхпеременную линейную систему для $(x,y,t)$ и отобрать реальные решения с $t\ge 0$. Это даёт все точки, расстояния от которых до заданных прямых пропорциональны заданной тройке.