Кратко о принципе и формулах (инверсия с центром $O$ и радиусом $k$):
- Образ точки $P$ при инверсии:
$$P^{\prime }=O+\frac{k^2}{|OP{|}^2}(P-O).$$
- Образ прямой: прямая, не проходящая через $O$, переходит в окружность, проходящую через $O$; прямая через $O$ переходит сама в себя.
- Образ окружности с центром $C$, радиусом $r$ и расстоянием до центра инверсии $d=|OC|$:
- если $d=r$ (окружность проходит через $O$), то образ — прямая, перпендикулярная к $OC$, на расстоянии
$$s=\frac{k^2}{2d}$$ от $O$;
- если $d\ne r$, то образ — окружность с центром на луче $OC$ на расстоянии
$$d^{\prime }=\frac{k^{2}d}{d^2-r^2}$$ от $O$ и радиусом
$$r^{\prime }=\frac{k^{2}r}{|d^2-r^2|}.$$ (Знак в $d^{\prime }$ указывает на сторону от $O$; при $d>r$ центр остаётся на том же луче, при $d<r$ — «с другой стороны».)
Применение к задаче касательных окружностей (алгоритм и интерпретация):
1. Выбор центра инверсии. Часто удобно взять центр инверсии в точке касания $T$ двух (или нескольких) окружностей. Тогда все окружности, проходящие через $T$, перейдут в прямые — это упростит конфигурацию (касание превращается в параллельность или соприкосновение прямых).
2. Частный результат для двух окружностей, касающихся в $T$. Пусть радиусы исходных окружностей $r_1,r_2$ и возьмём $O=T$. При инверсии радиус $k$ можно выбрать произвольно (обычно $k=1$). Образы будут прямыми, перпендикулярными к общей линии центров, и их расстояния от $O$:
$$s_i=\frac{k^2}{2r_i}(i=1,2).$$ Поскольку исходные центры и точка касания коллинеарны, эти прямые будут параллельны. Таким образом касательная конфигурация двух касающихся окружностей превращается в систему двух параллельных прямых, что часто резко упрощает поиск окружностей, касающихся обеих (задача сводится к простой задаче о касательных к параллельным прямым).
3. Решение в образе и обратная инверсия. Решив задачу в более простой (инвертированной) конфигурации — например, найдя центр и радиус окружности, касающейся двух параллельных прямых (если линии на расстоянии $L$, то окружность между ними имеет радиус $\rho =L/2$, центр на серединной прямой) — возвращаемся к исходной задаче обратной инверсией. Для каждой найденной в образе окружности (не проходящей через $O$) используем формулы
$$d^{\prime }=\frac{k^{2}d}{d^2-r^2},r^{\prime }=\frac{k^{2}r}{|d^2-r^2|}$$ в обратном порядке (где $d$ и $r$ — расстояние и радиус в образе относительно $O$), чтобы получить центры и радиусы исходных окружностей.
Короткий числовой пример (иллюстрация):
- Пусть две исходные касающиеся окружности имеют $r_1=1,r_2=4$ и инверсия с $k=1$ в точке касания $O$. Тогда образы — две параллельные прямые на расстояниях
$$s_1=\frac{1}{2},s_2=\frac{1}{8}.$$ Расстояние между ними $L=|s_1-s_2|=\frac{3}{8}$. Окружность, касающаяся обеих между ними, имеет в образе радиус $\rho =L/2=\frac{3}{16}$ и центр на серединной прямой в расстоянии $\frac{s_1+s_2}{2}=\frac{5}{16}$ от $O$. Обратив инверсию по формулам выше, получим радиус и центр соответствующей окружности в исходной конфигурации.
Интерпретация результатов:
- Инверсия превращает локальные касательные условия (угол между кривыми) в равные углы в образе; при касании (угол $0$) образы либо параллельны (если оба проходят через центр инверсии), либо остаются касающимися (во всех случаях касательность сохраняется).
- Выбор центра инверсии в точке касания упрощает конфигурацию до прямых или концентрических окружностей, что часто переводит сложную задачу (поиск касательных окружностей) в элементарную геометрию линий.
- Обратная инверсия возвращает найденные решения в исходную систему, причём формулы дают явные значения центров и радиусов.
Если нужно, могу выполнить эти шаги на конкретной заданной конфигурации (указать координаты центров/радиусов или точку касания) и вычислить новые центры и радиусы численно.