Коротко и по пунктам — общие факты и частные случаи (G — центр тяжести, I — инцентр, O — центр описанной окружности, стороны: $a=BC,b=CA,c=AB$, полупериметр $s$, радиусы: вписанный $r$, описанный $R$).
1) Общее равенство площадей
- Для любой точки $P$ внутри треугольника
$$[PAB]+[PBC]+[PCA]=[ABC].$$ Доказательство: например, через высоты к сторонам. Обозначим расстояния от $P$ до сторон $BC,CA,AB$ как $h_a,h_b,h_c$. Тогда
$$[PBC]=\frac{1}{2}a{h}_a,[PCA]=\frac{1}{2}b{h}_b,[PAB]=\frac{1}{2}c{h}_c,$$ и суммы высот по каждой стороне дают высоту полного треугольника, потому сумма равна $[ABC]$.
2) Центр тяжести $G$ - Площади:
$$[GAB]=[GBC]=[GCA]=\frac{1}{3}[ABC],$$ потому что медианы делят треугольник на шесть равных по площади малых треугольников, а три такие составляют каждый из трёх указанных.
- Расстояния (квадраты):
$$G{A}^2=\frac{1}{9}(2b^2+2c^2-a^2),$$ и суммарно
$$G{A}^2+G{B}^2+G{C}^2=\frac{1}{3}(a^2+b^2+c^2).$$ - Для любой точки $P$ выполняется
$$P{A}^2+P{B}^2+P{C}^2=3P{G}^2+(G{A}^2+G{B}^2+G{C}^2),$$ откуда следует неравенство
$$P{A}^2+P{B}^2+P{C}^2\ge G{A}^2+G{B}^2+G{C}^2$$ с равенством только при $P=G$. То есть $G$ минимизирует сумму квадратов расстояний до вершин.
3) Инцентр $I$ - Площади треугольников с вершиной $I$:
$$[IBC]=\frac{1}{2}ar,[ICA]=\frac{1}{2}br,[IAB]=\frac{1}{2}cr,$$ поэтому
$$[IBC]:[ICA]:[IAB]=a:b:c,[IBC]+[ICA]+[IAB]=rs=[ABC].$$ (Здесь $r$ — расстояние $I$ до каждой стороны.)
- Расстояния $IA,IB,IC$:
$$IA=\frac{r}{\sin \frac{A}{2}},IB=\frac{r}{\sin \frac{B}{2}},IC=\frac{r}{\sin \frac{C}{2}}.$$ Следствие: среди $IA,IB,IC$ наибольшее соответствует наименьшему углу треугольника (потому что $x\mapsto \sin x$ растёт на $(0,\pi /2)$).
4) Циркумцентр $O$ - Равенство расстояний:
$$OA=OB=OC=R.$$ - Площади:
$$[OBC]=\frac{1}{2}{R}^2\sin 2A,[OCA]=\frac{1}{2}{R}^2\sin 2B,[OAB]=\frac{1}{2}{R}^2\sin 2C.$$ Сумма даёт
$$[OBC]+[OCA]+[OAB]=\frac{1}{2}{R}^2(\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C)=[ABC],$$ (можно свести к формуле $a=2R\sin A$ или использовать тождество $\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C=4\sin A\sin B\sin C$).
- Положение $O$: если треугольник остроугольный, $O$ внутри; прямоугольный — на гипотенузе; тупоугольный — снаружи. При $O$ снаружи некоторые из ориентированных площадей могут быть взяты со знаком, но обычная сумма модулей частей при разбиении фигуры учитывается через ориентированные площади.
5) Минимизация суммы расстояний
- Точка, минимизирующая $PA+PB+PC$, это точка Ферма (Торричелли) — если все углы треугольника < $120^{\circ }$, то в ней углы между лучами к вершинам равны $120^{\circ }$. Если в треугольнике есть угол $\ge 120^{\circ }$, то минимизирующей является соответствующая вершина.
Короткие итоговые наблюдения:
- Для любой внутренней $P$ площади трёх треугольников с вершиной в $P$ всегда суммируются в площадь исходного треугольника.
- G даёт равные по площади три части и минимизирует сумму квадратов расстояний.
- I даёт площади, пропорциональные сторонам, и равные расстояния до сторон; расстояния до вершин выражаются через $r/\sin (A/2)$.
- O даёт равные расстояния до вершин ($R$); площади частей выражаются через $\frac{1}{2}{R}^2\sin 2\alpha$.
Если нужно, могу привести отдельные детальные доказательства любого из пунктов.