a) Для доказательства подобия треугольников ABC и MCN, достаточно показать, что углы треугольника ABC равны углам треугольника MCN.

Углы CAB и MCN равны как вертикальные углы. Углы ABC и MNC равны как соответственные при параллельных прямых. Углы BCA и CNM равны как вертикальные углы.

Таким образом, треугольники ABC и MCN подобны.

b) Обозначим стороны треугольника ABC как a, b и c, где a - сторона AC, b - сторона AB, c - сторона BC.

Из подобия треугольников ABC и MCN: MN/AB = CN/AC = CM/BC.

Известно, что стороны треугольника MNC равны 4 см, 6 см и 7 см, и точка М делит сторону AC в соотношении 1:1. Таким образом, AC = 10 см, AM = MC = 5 см.

Из подобия треугольников: 5/b = 6/10 = 7/c.

Отсюда получаем систему уравнений:

5/b = 7/c
5/b = 6/10

Решая данную систему уравнений, получаем, что b = 8 см, c = 14 см, a = 10 см.

Итак, стороны треугольника ABC равны 8 см, 10 см и 14 см.

2) Для доказательства подобия треугольников COB и AOD, рассмотрим, что углы OBC и ODA равны как вертикальные углы, углы OCB и OAD равны как вертикальные углы, а также углы OBC и AOD равны как соответственные при параллельных прямых.

Таким образом, треугольники COB и AOD подобны.

Для нахождения диагонали BD в трапеции ABCD, можно воспользоваться теоремой Пифагора для треугольника ABD:

AB^2 = AD^2 + BD^2
BC^2 = BD^2 + CD^2

Так как AD = 9 см, BC = 6 см и BO = 4 см, решив уравнения, получаем, что BD = 5 см.