Для решения этой задачи нам необходимо найти радиус основания конуса и радиус сечения.

Обозначим радиус основания конуса как R и радиус сечения как r.

Так как плоскость сечения параллельна основанию и делит его в отношении 3:1, то можно записать, что:

r = R * (1/3)

Также, образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 45 градусов, поэтому можно построить прямоугольный треугольник, где один из катетов равен высоте конуса (12 см), другой катет равен радиусу основания (R), а гипотенуза - образующая конуса. Тогда по формуле синуса угла наклона 45 градусов найдем:

sin(45°) = 12 / l

l = 12 / sin(45°)
l = 12 / √2
l = 6√2

Теперь найдем площадь сечения прямого кругового конуса:

S = π r^2
S = π (R/3)^2
S = π * R^2 / 9

Подставим значение l = 6√2 для образующей l:

S = π R^2 / 9
S = π (9R^2 / 2) / 9
S = π 9R^2 / 18
S = π R^2 / 2

Таким образом, площадь сечения прямого кругового конуса равна π * R^2 / 2.