Для начала найдем уравнение прямой, проходящей через левый фокус гиперболы и точку А(1, 12).

Левый фокус гиперболы имеет координаты (-c, 0), где c - расстояние от центра до фокуса. Для данной гиперболы c = √(16+9) = 5.

Теперь можем найти уравнение прямой:
Уравнение прямой проходящей через точки (x₁, y₁) и (x₂, y₂) имеет вид:
y - y₁ = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) * (x - x₁)

Подставляем x₁ = -5, y₁ = 0, x₂ = 1, y₂ = 12:
y - 0 = (12 - 0) / (1 - (-5)) * (x + 5)
y = 3/2x - 9/2

Раз обе прямые взаимно перпендикулярны и проходят через фокусы, то они являются асимптотами для гиперболы. Найдем координаты точки пересечения:
Перпендикуляр к прямой y = 3/2x - 9/2 имеет уравнение вида y = -2/3x + b.

Точка пересечения асимптот будет точкой пересечения обеих прямых, поэтому подставляем y = -2/3x + b в уравнение y = 3/2x - 9/2:
-2/3x + b = 3/2x - 9/2
-2x + 3b = 9x - 27
11x = 3b - 27
b = 11/3x + 9

Подставляем y = -2/3x + 11/3x + 9 в уравнение гиперболы:
[tex]\frac{x^{2}}{16} - \frac{(-2/3x + 11/3x + 9)^{2}}{9} = 1[/tex]
[tex]\frac{x^{2}}{16} - \frac{4x^{2}}{9} + \frac{44x}{9} + 81 = 1[/tex]
9x^{2} - 64x + 1296 = 144
9x^{2} - 64x + 1152 = 0
x = 8

y = 3/2*8 - 9/2
y = 12

Итак, точка пересечения обеих прямых и фокусов гиперболы имеет координаты (8, 12).