Обозначим равнобедренный треугольник как ABC, где AB=AC, угол BAC = 120°, сторона против угла BAC равна 2.
Для равнобедренного треугольника из угловой теоремы синусов имеем:
AB=AC=2, BC=2sin60°=√3.

Рассмотрим треугольник ABC. Проведем высоту AD, где D - точка пересечения высоты с основанием BC. Так как треугольник ABC равнобедренный, то высота AD также является медианой и биссектрисой, следовательно, AD является высотой, медианой и биссектрисой треугольника ABC, так как в равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота совпадают.

Таким образом, точка D является центром вписанной окружности треугольника ABC.

Рассмотрим теперь треугольник ADE, где E - середина стороны BC. Так как треугольник ABC равнобедренный, то DE является радиусом вписанной окружности треугольника ABC. Значит, DE = BC/2 = √3/2.

Теперь рассмотрим треугольник ABC. Соединим точку B с точкой D и проведем высоту BH, где H - точка пересечения высоты с AB. Так как треугольник BHD прямоугольный, то из свойств прямоугольного треугольника получаем, что BH = BDsin60° = BD√3/2.

Теперь рассмотрим треугольник BDC. Так как угол BDC смежный с углом BAC, то также равен 120°. Так как треугольник BDC также равносторонний, то BD = DC = 2. Тогда из косинусной теоремы для треугольника BDC получаем: BC^2 = BD^2 + DC^2 - 2BDDCcos120° => BC^2 = 2^2 + 2^2 - 222(-1/2) = 4 + 4 + 4 = 12 => BC = √12 = 2√3. Так как треугольник BDC равносторонний, то DC = BC = 2√3. Из равенства BH = BD√3/2 и BD = DC = 2√3 получаем, что BH = 2√3√3/2 = 3.

Итак, центр вписанной окружности D находится на расстоянии 3 от вершины A. Для вычисления расстояния между центрами вписанной и описанной окружностей, нам нужно найти радиус описанной окружности.

Обозначим центр описанной окружности как O. Треугольник AOB является равносторонним, так как все его стороны равны 2 (длина стороны равнобедренного треугольника) и угол AOB = 60° (угол вписанный треугольника). Тогда радиус описанной окружности равен AO = BO = AB/2 = 2/2 = 1.

Теперь мы можем найти расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей, которое равно разности радиусов описанной и вписанной окружностей, т.е. 1 - 3 = -2.

Итак, расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей составляет 2.