Для начала найдем высоту треугольника ACS, используя теорему Пифагора:
AC^2 = AS^2 + CS^2
AC^2 = 12^2 + 10^2
AC = √(144 + 100)
AC = √244

Затем найдем высоту треугольника ACS, опущенную на сторону AC. Поскольку треугольник ACB прямоугольный, а AC - его гипотенуза, то её длина равна радиусу вписанной сферы. Опустим перпендикуляр BK на ребро AC. Тогда получим два треугольника ABC и BKC:

BK^2 = (AB/2)^2 + BS^2 = (12/2)^2 + 5^2 = 6^2 + 25 = 61
BK = √61

Разделим треугольник ACS пополам перпендикуляром, опущенным из точки K на сторону AS. Тогда в треугольнике AKS катет KS равен радиусу вписанной сферы, который мы хотим найти. По теореме Пифагора:
AK^2 = AS^2 - KS^2
AK = √(AS^2 - KS^2) = √(244 - (√61)^2) = √(244 - 61) = √183

Теперь, найдем радиус вписанной сферы, который равен KS:
KS = AK = √183

Итак, радиус шара, вписанного в пирамиду ABCK, равен √183.