Для нахождения площади боковой поверхности четырехугольной пирамиды можно воспользоваться следующей формулой:

S = 1/2 p l,

где S - площадь боковой поверхности, p - периметр основания пирамиды, l - длина боковой грани.

Периметр квадратного основания, который образует угол 45 градусов с боковой гранью, равен 4a, где а - сторона квадрата.

Из условия задачи видно, что сторона квадрата равна 8 см (так как угол у основания пирамиды 45 градусов), следовательно, периметр основания равен 4 * 8 = 32 см.

Теперь найдем длину боковой грани, которая составляет угол 45 градусов с стороной основания.

По теореме Пифагора, длина боковой грани будет равна:

l = a √2 = 8 √2 см.

Теперь подставим полученные значения в формулу для нахождения площади боковой поверхности пирамиды:

S = 1/2 32 8 √2 = 128 √2 см^2.

Итак, площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды равна 128 * √2 квадратных сантиметров.