Обозначим длины диагонали трапеции за d1 и d2, а длину средней линии за m. По условию задачи, один отрезок средней линии равен 2x, а другой x.

Из свойств трапеции, мы знаем, что средняя линия разбивает диагонали на равные отрезки. Поэтому d1 = d2 = 2m.

Таким образом, d1 = d2 = 2m = 18 см. Значит, длина каждой диагонали равна 18 см.

Теперь рассмотрим треугольники, образованные диагоналями трапеции. Мы видим, что радиусы вписанных в них окружностей равны m, что позволяет нам записать равенства:

d1 = √((a-b)² + 4m²) и d2 = √((a+b)² + 4m²),

где a и b - длины оснований трапеции.

Подставляем все известные значения:

18 = √((a-b)² + 418²) и 18 = √((a+b)² + 418²),

102 = (a-b)² и 102 = (a+b)².

Решая данные квадратные уравнения получим:

a - b = √102 и a + b = √102.

Сложим оба уравнения:

2a = 2√102,

a = √102.

Выразив b как разность равенств, получаем:

b = 0.

Таким образом, длины оснований трапеции равны √102 и 0.