Для доказательства того, что $MK \parallel PN$, рассмотрим треугольники $\triangle MOK$ и $\triangle NOP$.

Углы $\angle MOK$ и $\angle NOP$ – это углы, вершины которых лежат на диаметрах окружности, по свойству угла в полукруге, эти углы равны $90^\circ$.

Также, угол $\angle OKM$ и $\angle OPN$ оба равны углам при основании прямоугольного треугольника, то есть они равны между собой.

Итак, углы $\angle MOK$ и $\angle PNK$ равны между собой, и углы $\angle OKM$ и $\angle PNO$ равны между собой. Следовательно, треугольники $\triangle MOK$ и $\triangle NOP$ подобны по углам.

Из свойств подобных треугольников следует, что соответствующие стороны параллельны. Таким образом, $MK \parallel PN$.