Мы знаем, что сумма площадей всех граней правильной треугольной пирамиды равна удвоенной площади основания (Sосн) плюс произведение апофемы на периметр основания.

Sпирамиды = 2 Sосн + ap Pосн,

где Sпирамиды - площадь всех граней пирамиды, Sосн - площадь основания пирамиды, ар - апофема, Pосн - периметр основания пирамиды.

У нас дано, что Sосн = 8√3 см^2 и ap = 4 см.

Поскольку основание треугольной пирамиды - правильный треугольник, его периметр равен 3 раза длине стороны. Таким образом, Pосн = 3 * a, где а - длина стороны треугольника.

Так как пирамида правильная, все три грани с равными площадями, поэтому Sпирамиды = 3 * Sбок, где Sбок - площадь боковой грани.

Теперь мы можем выразить Sбок через Sосн и ap:

Sпирамиды = 2 Sосн + ap Pосн,
3 Sбок = 2 8√3 + 4 3 a,
3 * Sбок = 16√3 + 12a,
Sбок = (16√3 + 12a) / 3.

Так как a - сторона правильного треугольника, в его равносторонний треугольник высота (h) равна a * √3 / 2. Поскольку апофема - это высота, мы можем выразить a через апофему:

a = 2 * ap / √3 = 8 / √3.

Подставляем это в формулу для Sбок:

Sбок = (16√3 + 12 * 8 / √3) / 3
Sбок = (16√3 + 96) / 3
Sбок = 16√3 + 32.

Итак, Sбок грани пирамиды равна 16√3 + 32 квадратных сантиметра.