Для решения этой задачи нам нужно найти длину второго катета.

Из условия задачи мы знаем, что один катет равен 18, а угол противолежащий этому катету равен 45 градусам. Таким образом, мы можем использовать тригонометрические связи в прямоугольном треугольнике:

[ \sin 45^\circ = \frac{18}{c} ]

[ \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{18}{c} ]

[ c = 18\sqrt{2} ]

Теперь, зная длины обоих катетов (18 и (18\sqrt{2})), мы можем найти площадь треугольника:

[ S = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 18\sqrt{2} = 162\sqrt{2} \text{ кв.ед.} ]

Таким образом, площадь прямоугольного треугольника, в котором один из катетов равен 18 и один из острых углов равен 45 градусам, равна (162\sqrt{2}) квадратных единиц.