Обозначим катеты прямоугольного треугольника как a и b, тогда диагональ боковой грани равна сумме катетов a + b.

Из условия задачи известно, что диагональ образует угол β с основанием, поэтому тангенс угла β равен отношению высоты h призмы к его основанию:

tg(β) = h / (a + b)

Также из условия задачи следует, что высота призмы равна радиусу шара R:

h = R

Таким образом, tg(β) = R / (a + b).

Рассмотрим прямоугольный треугольник с углом альфа, тогда tg(α) = h / a, откуда h = a * tg(α). Подставляем h:

tg(β) = a * tg(α) / (a + b)

Далее, объём призмы можно найти как произведение площади основания (прямоугольного треугольника) на высоту (радиус шара):

V = (1/2 a b) * R

Таким образом, объём призмы равен:

V = (1/2 a b) R tg(β) (a + b) / (a tg(α))