Пусть $\angle MOA = \angle MOB = \alpha$ (так как М — точка на биссектрисе угла).

Тогда, так как прямая, проходящая через точку М перпендикулярно биссектрисе угла, делит этот угол на два равных угла, получаем, что $\angle AMO = \angle BMO = \alpha$.

Так как $\angle AMO = \angle BMO$, то $\angle AOM = \angle BOM$, и треугольники $\triangle AOM$ и $\triangle BOM$ равны по углам. Из равенства этих треугольников следует, что $AM = MB$.

Таким образом, доказано, что $AM = MB$.