Пусть ABCD - трапеция, а M и N - середины диагоналей AC и BD соответственно. Докажем, что MN делит каждую из диагоналей пополам.

Поскольку M и N - середины диагоналей, то AM = MC и BN = ND.

Из равенства AM = MC следует, что треугольники AMN и CND равны по стороне AN и общему углу между ними - углу MAN. Следовательно, у этих треугольников равны соответственно MN = ND.

Аналогично из равенства BN = ND следует, что треугольники BNM и AMD равны по стороне BN и общему углу между ними - углу MBN. Следовательно, у этих треугольников равны соответственно MN = MD.

Таким образом, мы доказали, что средняя линия трапеции делит каждую ее диагональ пополам.