Для доказательства данного неравенства используем тождество:

cos^4(x) + 4sin^2(x) ≥ 2sin(2x)cos(x)

cos^4(x) + 4sin^2(x) = (cos^2(x))^2 + 4(sin^2(x))
= (cos^2(x))^2 + 4(1 - cos^2(x))
= (cos^2(x))^2 + 4 - 4cos^2(x)
= (cos^2(x))^2 - 4cos^2(x) + 4

Подставим значение для sin(2x) = 2sin(x)cos(x):

sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

2sin^2(x)cos^2(x) = 2sin(2x)cos^2(x)

cos^2(x) = 1 - sin^2(x)

Тогда:

(cos^2(x))^2 - 4cos^2(x) + 4 = (1 - sin^2(x))^2 - 4(1 - sin^2(x)) + 4
= 1 - 2sin^2(x) + sin^4(x) - 4 + 4sin^2(x) + 4
= sin^4(x) - 2sin^2(x) + 1

Таким образом, неравенство принимает вид:

sin^4(x) - 2sin^2(x) + 1 ≥ 2sin(2x)cos(x)

(sin^2(x) - 1)^2 ≥ 2sin(2x)cos(x)

(sin^2(x) - 1)^2 = (cos(2x))^2

(cos(2x))^2 ≥ 2sin(2x)cos(x)

(cos(2x))^2 - 2sin(2x)cos(x) ≥ 0

(cos(2x) - sin(2x))^2 ≥ 0

Так как квадрат любого числа неотрицателен, то неравенство всегда верно.

Таким образом, мы доказали, что:

cos^4(x) + 4sin^2(x) ≥ 2sin(2x)cos(x)