Обозначим длины отрезков как |BN| = 2x, |NC| = 7x и |BC| = 9x.

Так как BN || AD и AB = DC, то треугольник AMO равнобедренный, следовательно, MA = MO.

Также в параллелограмме ABCD BM || AD, следовательно, угол MAB = угол ODC.

Так как AMO равнобедренный, то угол AMO = угол OAM = (180 - угол A) / 2.

Угол MAB = угол OBM = угол MOB = (180 - угол A) / 2.

Далее будем использовать тот факт, что в треугольнике ABC длина медианы к стороне составляет половину длины стороны, и обозначим длину MC = 2z:

Тогда длина MD = 9x - 2z.

Из теоремы синусов в треугольнике AOB:

MA / sin OMA = MO / sin OAM,

MO = MA = sqrt((9x)^2 + (2z)^2 - 2 9x 2z cos OMA = sqrt(81x^2 + 4z^2 - 36xz cos ((180 - A) / 2)).

Также для прямоугольника ACOM:

MA / sin (180 - A) / 2 = CM / sin (180 - A),

MA = 2z * sin ((180 - A) / 2) / sin (180 - A).

Подставляя это значение в формулу для MO и сравнивая его со значением из формулы теоремы синусов, найдем z:

sqrt(81x^2 + 4z^2 - 36xz cos ((180 - A) / 2)) = 2z sin ((180 - A) / 2) / sin (180 - A).

Подставляем найденное значение z и находим длину отрезка MN:

MN = 9x - 2z.