Чтобы найти расстояние от точки до прямой, нужно найти перпендикуляр к прямой, проходящий через точку, а затем найти пересечение этого перпендикуляра с прямой.

У нас дана точка A(1;4) и прямая l:y=3x-2.

Сначала найдем уравнение перпендикуляра к прямой l, проходящего через точку A.

Так как перпендикуляр к прямой l будет иметь коэффициент наклона -1/3 (противоположный обратный коэффициенту наклона прямой l), то уравнение перпендикуляра будет иметь вид y = -1/3x + b, где b - коэффициент, который нужно найти.

Теперь, подставим координаты точки A(1;4) в уравнение перпендикуляра:

4 = -1/3*1 + b
4 = -1/3 + b
b = 4 + 1/3
b = 13/3

Итак, уравнение перпендикуляра принимает вид y = -1/3x + 13/3.

Теперь найдем точку пересечения прямой l:y=3x-2 и перпендикуляра y = -1/3x + 13/3.

3x-2 = -1/3x + 13/3
3x + 1/3x = 2 + 13/3
9/3x + 1/3x = 6 + 13/3
10/3x = 6 + 13/3
10/3x = 18/3 + 13/3
10/3x = 31/3

x = 31/30

Теперь найдем y-координату этой точки:

y = 3 * (31/30) - 2
y = 31/10 - 20/10
y = 11/10

Итак, точка пересечения прямой l и перпендикуляра имеет координаты (31/30; 11/10).

Теперь найдем расстояние от точки A до этой точки.

√((31/30 - 1)^2 + (11/10 - 4)^2) = √(9001/900 + 729/100) = √(9001 + 8100) / 900 = √17101 / 900 = √17101 / 30

Расстояние от точки A до прямой l равно √17101 / 30.