Внутри правильного треугольника АВС взята произвольная точка М. Доказать, что на сторонах АВ, ВС и СА можно выбрать соответственно точки С1, А1 и В1 так, что В1С1= АМ, С1А1 = ВМ, А1В1 = СМ. Найти ВА1, если АВ1 = а, АС1= в, а > в .
Внутри правильного треугольника АВС взята произвольная точка М. Доказать, что на сторонах АВ, ВС и СА можно выбрать соответственно точки С1, А1 и В1 так, что В1С1= АМ, С1А1 = ВМ, А1В1 = СМ. Найти ВА1, если АВ1 = а, АС1= в, а > в .
Похожие вопросы
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Для начала докажем, что такие точки С1, А1 и В1 действительно существуют.
Проведем высоты треугольника AM, BM и CM. Обозначим их точками D, E и F соответственно. Тогда треугольники AED и BDM подобны, так как у них есть общий угол B, и углы EAD и MBD равны, так как это углы, составляющие.
Следовательно, AD/BD = ED/MD = АМ/ВС, откуда ED = AM BD / BC.
Аналогично получаем, что CF = BM AC / AM.
Из подобия треугольников также следует, что AC1 / МС1 = АМ / ВС и соответственно МС1 = AC1 ВС / АМ.
Подставляя полученные значения в выражения для BD и CF, получаем BD = a AM / (a + b) и CF = b AM / (a + b).
Теперь выберем точку B1 на отрезке AD так, что AD = BD + B1D = AM и соответственно B1D = AM - BD = b AM / (a + b). Аналогично выберем точки С1 на CF и A1 на AE.
Таким образом, точки B1, С1 и A1 выбраны правильно, что и требовалось доказать.
Теперь осталось найти ВА1. Поскольку труеугольники ABD и АВ1D подобны, то BD/AB = AD/AВ1, откуда AB/AB1= AD/BD= a+b/a. Значит, AB1= AB * a / (a + b) = a^2 / (a + b), что и является ответом.