Для решения этой задачи нам необходимо воспользоваться теоремой косинусов.

Обозначим основание трапеции за a, а боковые стороны за b. Так как трапеция равнобедренная, то a = c.

Также обозначим среднюю линию за m.

Известно, что диагональ равна 10 см, а угол между диагональю и одним из оснований равен 45 градусов.

По теореме косинусов:
m^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(45°)

Подставим a = c и найдем m:
m^2 = c^2 + b^2 - 2cb * cos(45°)

Так как у трапеции есть симметричная ось, то средняя линия разделяет основание на две равные части, поэтому c = 2m.

Теперь подставим c = 2m в уравнение:
m^2 = (2m)^2 + b^2 - 2(2m)b * cos(45°)

Раскрываем скобки и упрощаем:
m^2 = 4m^2 + b^2 - 4mb * cos(45°)

3m^2 = b^2 - 4mb * 0.7071

3m^2 = b^2 - 2.8284mb

Поскольку выражения b^2 и mb в левой части уравнения не различаются, то это означает, что они связаны каким-то определенным отношением. Посмотрим это более конкретно:

3m = b - 2.8284m

3m + 2.8284m = b

5.8284m = b

m = b / 5.8284

5.8284m = b

Таким образом, средняя линия трапеции равна одной пятой основания: m = a / 5.8284.

Используя данное уравнение и данные задачи, мы можем найти значение средней линии.