Чтобы каждые две линии пересекались, нужно провести все возможные сочетания из четырех линий.

1-я и 2-я линии пересекаются - 1 точка пересечения
1-я и 3-ая линии пересекаются - 2 точка пересечения
1-я и 4-ая линии пересекаются - 3 точка пересечения
2-я и 3-ая линии пересекаются - 4 точка пересечения
2-я и 4-ая линии пересекаются - 5 точка пересечения
3-я и 4-ая линии пересекаются - 6 точка пересечения

Итак, при проведении 4 линий существует 6 точек пересечения.