Пусть длина меньшей диагонали ромба равна 2x, а длина большей диагонали равна 5x.

Так как диагонали ромба делят его на 4 равные треугольника, можно рассмотреть один из них. Пусть h - высота этого треугольника.

Используя теорему Пифагора для этого треугольника, получим:

(2x)^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + h^2
(5x)^2 = (\frac{d_2}{2})^2 + h^2

где d1 и d2 - диагонали ромба.

Далее, так как периметр ромба равен 116, то получаем:
4\sqrt{5}x = 116
x = \frac{116}{4\sqrt{5}} = 7

Теперь можем найти высоту ромба:

h = \sqrt{(2x)^2 - (\frac{d_1}{2})^2} = \sqrt{14^2 - (\frac{2*7}{2})^2} = \sqrt{196 - 49} = \sqrt{147} = 3\sqrt{3}

Ответ: высота ромба равна 3\sqrt{3}.