Для нахождения бокового ребра пирамиды воспользуемся формулой для площади диагонального сечения, которая равна половине произведения периметра основания на длину высоты пирамиды:

S = 0.5 P h,

где S - площадь диагонального сечения, P - периметр основания, h - длина высоты пирамиды.

Для начала найдем периметр основания:

P = 4 a = 4 8 √2 = 32 √2 см.

Подставляем значения в формулу для площади диагонального сечения:

48 = 0.5 32 √2 * h,

96 = 32 √2 h,

3 = √2 * h.

Решаем уравнение:

h = 3 / √2 = 3√2 / 2.

Для того, чтобы найти боковое ребро пирамиды, воспользуемся теоремой Пифагора для правильного треугольника, образованного высотой, половиной бокового ребра и боковым ребром пирамиды:

(b/2)^2 + h^2 = l^2,

l = √[(b/2)^2 + h^2],

l = √[(b/2)^2 + (3√2 / 2)^2],

l = √[(b^2 / 4) + 9 * 2 / 4],

l = √[(b^2 / 4) + 18 / 4],

l = √(b^2 / 4 + 4.5).

Так как сторона основания равна 8√2, подставляем ее:

8√2 / 4 = 2√2,

l = √(4 + 18),

l = √22.

Итак, боковое ребро пирамиды равно √22 см.